Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +3 µC e +6 µC estão a 50 cm uma da outra. A que distância x da carga de +3 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +3 µCq₂ = +6 µCd = 50 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 8 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 3 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 6 µC está a 10 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 6 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 99% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 15 VR = 15 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 5 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 300 ms.

V_s = 9 VR = 2,2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 5 Vt = 300 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 100 espiras tem uma área de 150 cm². A bobina é virada (girada em 180°) num campo uniforme de 0,3 T, perpendicular ao seu plano, em 20 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 100A = 150 cm²B = 0,3 TΔt = 20 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 100 espiras, comprimento de 50 cm e diâmetro de 2 cm. Encontre a sua autoindutância L.

N = 100l = 50 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 5 mH deve ressoar a 500 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 500 HzL = 5 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 120 V (eficaz), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 100 ΩC = 2,2 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 20,71 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

3/x² = 6/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(6/3) = 1,414

Posição

x = 50/(1 + 1,414) = 20,71 cm

Resposta

x = 20,71 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 73,85 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·3·8 × 10⁻¹²/0,06² = 59,93 N

F₂ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,1² = 43,15 N

Soma vetorial

F = √(59,93² + 43,15²) = 73,85 N

Resposta

F = 73,85 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 14,4 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 2 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_eq = R₁ + 2,4 = 12 + 2,4 = 14,4 Ω

Resposta

R_eq = 14,4 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 22,42 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 12 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 7,5 Ω

R₃ + 7,5 = 12,5 Ω

R₂ ∥ 12,5 = 2,419 Ω

R_eq = R₁ + 2,419 = 20 + 2,419 = 22,42 Ω

Resposta

R_eq = 22,42 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 3,07 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 15 Ω = 0,6667 ms

i(∞) = V_s/R = 15/15 = 1 A

Resolva para o tempo

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −0,6667·ln(0,01) = 3,07 ms

Resposta

t = 3,07 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 6,848 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 9 + (5 − 9)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(300) = 9 + (−4)·e^−300/484 = 6,848 V

Resposta

v_C = 6,848 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 45 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 2·0,3·0,015 = 0,009 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,009/0,02 = 45 V

Resposta

ε = 45 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: L = 7,896 µH

Seção transversal

A = π·(0,01)² = 0,0003142 m²

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0,0003142/0,5 = 7,896 × 10⁻⁶ H = 7,896 µH

Resposta

L = 7,896 µH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 20,26 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,005) = 20,26 µF

Resposta

C = 20,26 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,036 A

Reatância

X_C = 1/(2π·200·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 92,9 − j25,68 Ω

Impedância total

Z = 20 + 92,9 − j25,68 = 112,9 − j25,68 Ω

|Z| = √(112,9² + 25,68²) = 115,8 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 120/115,8 = 1,036 A

Resposta

I = 1,036 A

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