Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: +5 µC à esquerda, −2 µC à direita a 30 cm de distância, e +2 µC entre elas, a 18 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +5 µCq_R = −2 µCq_M = +2 µCr_L = 18 cmr_R = 12 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 6 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 2 µC está a 10 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 4 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 4 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 25 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 80 ms.

V_s = 30 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 68 µFt = 80 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Encontre a corrente do indutor i em t = 10 ms.

V_s = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩL = 47 mHt = 10 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron move-se para a esquerda num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. Clique no sentido da força magnética sobre ele.

v: para a esquerdaB: saindo da página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 500 espiras, comprimento de 50 cm e diâmetro de 1 cm. Encontre a sua autoindutância L.

N = 500l = 50 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 5,272 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = +k·5·2 × 10⁻¹²/0,18² = 2,775 N

F_R = +k·2·2 × 10⁻¹²/0,12² = 2,497 N

Força resultante

F = 2,775 + (2,497) = 5,272 N → |F| = 5,272 N

Resposta

F = 5,272 N

A força resultante aponta para a direita.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 135,3 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·2·6 × 10⁻¹²/0,1² = 10,79 N

F₂ = k·4·6 × 10⁻¹²/0,04² = 134,8 N

Soma vetorial

F = √(10,79² + 134,8²) = 135,3 N

Resposta

F = 135,3 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 12,88 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 10 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 20·13/(20+13) = 7,879 Ω

R_eq = R₁ + 7,879 = 5 + 7,879 = 12,88 Ω

Resposta

R_eq = 12,88 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,1439 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 30 + 3 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 1,886 Ω

R₃ + 1,886 = 4,886 Ω

R₂ ∥ 4,886 = 4,201 Ω

R_eq = R₁ + 4,201 = 25 + 4,201 = 29,2 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/29,2 = 1,027 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,027·25 = 4,316 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,316/30 = 0,1439 A

Resposta

I_R2 = 0,1439 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 8,304 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3,3·6,8/(3,3 + 6,8) = 2,222 kΩ

v_C(∞) = 30·6,8/(3,3 + 6,8) = 20,2 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 2,222·68 = 151,1 ms

Curva de carga

v_C(t) = 20,2·(1 − e^−80/151,1) = 8,304 V

Resposta

v_C = 8,304 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 1,44 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 15/(10 + 5) = 1 A

i(∞) = 15/10 = 1,5 A

τ = L/R = 47/10 = 4,7 ms

i(t) = 1,5 + (1 − 1,5)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(10) = 1,5 + (−0,5)·e^−10/4,7 = 1,44 A

Resposta

i = 1,44 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para baixo na página

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

v: para a esquerda, B: saindo da página

Carga negativa

A força sobre um elétron é oposta à força sobre uma carga positiva.

Sentido da força

para baixo na página

Resposta

F: para baixo na página

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: L = 49,35 µH

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Seção transversal

A = π·(0,005)² = 7,854 × 10⁻⁵ m²

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·500²·7,854 × 10⁻⁵/0,5 = 4,935 × 10⁻⁵ H = 49,35 µH

Resposta

L = 49,35 µH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,156 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−66,15)²) = 103,8 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 120/103,8 = 1,156 A

Resposta

I = 1,156 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,5107 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (89,35)²) = 97,9 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/97,9 = 0,5107 A

Resposta

I = 0,5107 A

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