Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +3 µC e +8 µC estão a 40 cm uma da outra. A que distância x da carga de +3 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +3 µCq₂ = +8 µCd = 40 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 5 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 50 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 20° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 50 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 5 ms.

V_s = 10 VR = 50 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 12 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 9,9 V? Encontre t.

V_s = 5 VR = 3,3 kΩC = 22 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 50 espiras tem uma área de 20 cm². Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,2 T para 1 T em 100 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 50A = 20 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 100 ms

ε = mV

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma partícula alfa passa sem desvio por um seletor de velocidade com campos cruzados E = 8 × 10⁴ V/m e B₁ = 0,05 T. Em seguida entra numa segunda região com apenas um campo magnético B₂ = 0,8 T, em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória ali.

E = 8 × 10⁴ V/mB₁ = 0,05 TB₂ = 0,8 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 100 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 2 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 2 V (rms)R = 20 ΩL = 5 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 15,19 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

3/x² = 8/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(8/3) = 1,633

Posição

x = 40/(1 + 1,633) = 15,19 cm

Resposta

x = 15,19 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 482 nC

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 20° = 0,01785 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 20° = 0,342 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,342·√(0,01785/8,99 × 10⁹) = 4,82 × 10⁻⁷ C = 482 nC

Resposta

q = 482 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,8092 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 8 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 3·11/(3+11) = 2,357 Ω

R_eq = R₁ + 2,357 = 10 + 2,357 = 12,36 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/12,36 = 0,8092 A

Resposta

I_R1 = 0,8092 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,2891 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 30 + 30 = 60 Ω

R₄ ∥ 60 = 4,615 Ω

R₃ + 4,615 = 12,62 Ω

R₂ ∥ 12,62 = 5,578 Ω

R_eq = R₁ + 5,578 = 6 + 5,578 = 11,58 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11,58 = 0,5182 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,5182·6 = 2,891 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,891/10 = 0,2891 A

Resposta

I_R2 = 0,2891 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,1836 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/50 = 0,2 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2·(1 − e^−5/2) = 0,1836 A

Resposta

i = 0,1836 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 25,89 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 22 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 5 + (12 − 5)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

9,9 = 5 + (7)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9,9 − 5)/(12 − 5) = 0,7

t = τ·ln((12 − 5)/(9,9 − 5)) = 72,6·ln(1,429) = 25,89 ms

Resposta

t = 25,89 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 800 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (1 − 0,2)·0,002 = 0,0016 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0016/0,1 = 0,8 V

Resposta

ε = 800 mV

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 4,148 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 8 × 10⁴/0,05 = 1,6 × 10⁶ m/s

Raio no segundo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,04148 m = 4,148 cm

Resposta

r = 4,148 cm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,452 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (31)²) = 34,44 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/34,44 = 1,452 A

Resposta

I = 1,452 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 10,31 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,47·10⁻⁶) = 20628 rad/s

I = V/R = 2/20 = 0,1 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 20628·0,005 = 103,1 Ω

V_L = I·X_L = 0,1·103,1 = 10,31 V

Resposta

V_L = 10,31 V

Isso é Q = 5,157 vezes a tensão da fonte.

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