Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +4 µC e +2 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 15 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = +2 µCr = 15 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 8 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 6 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 10 µC está a 3 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 10 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 25 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 2 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Quanto tempo leva para a corrente cair até 0,5 A? Encontre t.

i(0) = 2 AR = 22 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 10 ms.

V_s = 15 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 22 µFt = 10 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 200 espiras, área 80 cm² e resistência 10 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,2 T para 0,3 T em 10 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 200A = 80 cm²B: 0,2 T → 0,3 TΔt = 10 msR = 10 Ω

I = A

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 100 mH e 50 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,2. A corrente na primeira bobina varia a 50 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 100 mHL₂ = 50 mHk = 0,2di/dt = 50 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 500 Hz. Encontre o fator de potência cos φ do circuito.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 12 V (eficaz), 50 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 50 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 3,596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (4 + 2)/2 = 3 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(3 × 10⁻⁶)²/0,15² = 3,596 N

Resposta

F = 3,596 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 802 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,08² = 67,42 N

F₂ = k·10·8 × 10⁻¹²/0,03² = 799,1 N

Soma vetorial

F = √(67,42² + 799,1²) = 802 N

Resposta

F = 802 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 8,609 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 3·20/(3+20) = 2,609 Ω

R_eq = R₁ + 2,609 = 6 + 2,609 = 8,609 Ω

Resposta

R_eq = 8,609 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,56 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 25 = 37 Ω

R₄ ∥ 37 = 6,578 Ω

R₃ + 6,578 = 16,58 Ω

R₂ ∥ 16,58 = 1,785 Ω

R_eq = R₁ + 1,785 = 25 + 1,785 = 26,78 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/26,78 = 0,56 A

Resposta

I_R1 = 0,56 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 2,079 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms

Resolva para o tempo

0,5 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/0,5)

t = 1,5·ln(4) = 2,079 ms

Resposta

t = 2,079 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 1,221 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 15·1/(6,8 + 1) = 1,923 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 1·22 = 22 ms

Descarga

v_C(t) = 1,923·e^−10/22 = 1,221 V

Resposta

v_C = 1,221 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 1,6 A

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,3 − 0,2)·0,008 = 0,0008 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,0008/0,01 = 16 V

Corrente

I = ε/R = 16/10 = 1,6 A

Resposta

I = 1,6 A

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 0,7071 V

Indutância mútua

M = 0,2·√(100·50) = 14,14 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,01414·50 = 0,7071 V

Resposta

ε = 0,7071 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: cos φ = 0,9002

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 62,83 Ω, X_C = 14,47 Ω

Impedância

|Z| = √(100² + (48,36)²) = 111,1 Ω

Fator de potência

cos φ = R/|Z| = 100/111,1 = 0,9002

O circuito é indutivo, então o fator de potência é indutivo (atrasado).

Resposta

cos φ = 0,9002

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 85,76 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 32,36 − j23,89 Ω

Impedância total

Z = 50 + 32,36 − j23,89 = 82,36 − j23,89 Ω

|Z| = √(82,36² + 23,89²) = 85,76 Ω

Resposta

|Z| = 85,76 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism