Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +6 µC e −4 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 25 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −4 µCr = 25 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 8 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 100 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 8° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 100 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W armazenada no indutor em t = 1 ms, em mJ.

V_s = 24 VR = 47 ΩL = 33 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 6 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 10,2 V? Encontre t.

V_s = 12 VR = 6,8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 6 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 10 espiras, área 10 cm² e resistência 2 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,2 T para 0,8 T em 20 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 10A = 10 cm²B: 0,2 T → 0,8 TΔt = 20 msR = 2 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 500 mH varia de forma constante de 1 A para 1,5 A em 1 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 500 mH1 A → 1,5 AΔt = 1 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 60 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 50 V (eficaz), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 80 ΩC = 47 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 0,1438 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (6 + −4)/2 = 1 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,25² = 0,1438 N

Resposta

F = 0,1438 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 308,3 nC

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 8° = 0,01103 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 8° = 0,2783 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2783·√(0,01103/8,99 × 10⁹) = 3,083 × 10⁻⁷ C = 308,3 nC

Resposta

q = 308,3 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,3743 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 15 + 20 = 35 Ω

R₂ ∥ 35 = 12·35/(12+35) = 8,936 Ω

R_eq = R₁ + 8,936 = 3 + 8,936 = 11,94 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11,94 = 0,5027 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,5027·3 = 4,492 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,492/12 = 0,3743 A

Resposta

I_R2 = 0,3743 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,829 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 2 + 30 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 4,324 Ω

R₃ + 4,324 = 8,324 Ω

R₂ ∥ 8,324 = 3,124 Ω

R_eq = R₁ + 3,124 = 10 + 3,124 = 13,12 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13,12 = 1,829 A

Resposta

I_R1 = 1,829 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W = 2,481 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 33 mH / 47 Ω = 0,7021 ms

i(∞) = V_s/R = 24/47 = 0,5106 A

Corrente no instante dado

i(t) = 0,5106·(1 − e^−1/0,7021) = 0,3877 A

Energia armazenada

W = ½·L·i² = ½·33·0,3877² = 2,481 mJ

Resposta

W = 2,481 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 81,87 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 12 + (6 − 12)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

10,2 = 12 + (−6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (10,2 − 12)/(6 − 12) = 0,3

t = τ·ln((6 − 12)/(10,2 − 12)) = 68·ln(3,333) = 81,87 ms

Resposta

t = 81,87 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 150 mA

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,8 − 0,2)·0,001 = 0,0006 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0006/0,02 = 0,3 V

Corrente

I = ε/R = 0,3/2 = 0,15 A

Resposta

I = 150 mA

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 250 V

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,5·0,5/0,001 = 250 V

Resposta

ε = 250 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 72,94 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (48,87)²) = 51,12 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(48,87/15) = 72,94°

Resposta

φ = 72,94°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,7827 A

Reatância

X_C = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 26,58 − j37,68 Ω

Impedância total

Z = 25 + 26,58 − j37,68 = 51,58 − j37,68 Ω

|Z| = √(51,58² + 37,68²) = 63,88 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 50/63,88 = 0,7827 A

Resposta

I = 0,7827 A

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