Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +5 µC e +8 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 5 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = +8 µCr = 5 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +3 µC e −3 µC estão a 12 cm uma da outra. O ponto P está a 6 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 12 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a constante de tempo τ do circuito após o fechamento da chave.

V_s = 15 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 47 µF

τ = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 9 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 4,5 V, exatamente 250 ms após o início. Com R = 47 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 9 VV_th = 4,5 VT = 250 msR = 47 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. A intensidade do campo está diminuindo. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: saindo da páginadB/dt < 0

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 80 mH e 20 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,2. A corrente na primeira bobina varia a 200 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 80 mHL₂ = 20 mHk = 0,2di/dt = 200 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 230 V (eficaz), 50 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 20 ΩL = 20 mH

|Z| = Ω

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 150 mHC = 100 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 151,9 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (5 + 8)/2 = 6,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(6,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 151,9 N

Resposta

F = 151,9 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 5,297 × 10⁶ N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(6² + 6²) = 8,485 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,08485² = 3,746 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·3,746 × 10⁶·0,7071 = 5,297 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 5,297 × 10⁶ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,2239 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 20 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 10·25/(10+25) = 7,143 Ω

R_eq = R₁ + 7,143 = 12 + 7,143 = 19,14 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/19,14 = 0,3134 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,3134·12 = 2,239 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,239/10 = 0,2239 A

Resposta

I_R2 = 0,2239 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,232 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 20 + 5 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 7,143 Ω

R₃ + 7,143 = 12,14 Ω

R₂ ∥ 12,14 = 8,173 Ω

R_eq = R₁ + 8,173 = 4 + 8,173 = 12,17 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,17 = 1,232 A

Resposta

I_R1 = 1,232 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: τ = 91,12 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 4,7·3,3/(4,7 + 3,3) = 1,939 kΩ

v_C(∞) = 15·3,3/(4,7 + 3,3) = 6,188 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 1,939·47 = 91,12 ms

Resposta

τ = 91,12 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 7,674 µF

Constante de tempo necessária

4,5 = 9·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(9/(9 − 4,5))

τ = 250/0,6931 = 360,7 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 360,7/47 = 7,674 µF

Resposta

C = 7,674 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: anti-horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo entrando na página aumenta, ou o fluxo saindo da página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: saindo da página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

anti-horário

Resposta

anti-horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 1,6 V

Indutância mútua

M = 0,2·√(80·20) = 8 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,008·200 = 1,6 V

Resposta

ε = 1,6 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 5,994 Ω

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·50·0,02 = 6,283 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 230/20 = 11,5 A

I_X = V/X_L = 230/6,283 = 36,61 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(11,5² + 36,61²) = 38,37 A

Impedância

|Z| = V/I = 230/38,37 = 5,994 Ω

Resposta

|Z| = 5,994 Ω

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,52 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (78,33)²) = 78,97 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 120/78,97 = 1,52 A

Resposta

I = 1,52 A

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