Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +1 µC e +3 µC estão a 30 cm uma da outra. A que distância x da carga de +1 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +1 µCq₂ = +3 µCd = 30 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 8 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 6 µC está a 3 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 1 µC está a 6 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 1 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 68 ΩL = 100 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 10 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 40 ms.

V_s = 20 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 10 Vt = 40 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton descreve um círculo num campo magnético uniforme de 0,25 T. Encontre o tempo T que ele leva para uma volta.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,25 T

T = ns

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um dêuteron parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 10000 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,2 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,2 T

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 1000 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 2 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 0,47 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 10,98 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

1/x² = 3/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(3/1) = 1,732

Posição

x = 30/(1 + 1,732) = 10,98 cm

Resposta

x = 10,98 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 479,9 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,03² = 479,5 N

F₂ = k·1·8 × 10⁻¹²/0,06² = 19,98 N

Soma vetorial

F = √(479,5² + 19,98²) = 479,9 N

Resposta

F = 479,9 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,143 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 3 + 7,5 = 10,5 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/10,5 = 1,143 A

Resposta

I_R1 = 1,143 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,218 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 4 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 4,235 Ω

R₃ + 4,235 = 6,235 Ω

R₂ ∥ 6,235 = 2,775 Ω

R_eq = R₁ + 2,775 = 12 + 2,775 = 14,77 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/14,77 = 1,218 A

Resposta

I_R1 = 1,218 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,03628 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 100 mH / 68 Ω = 1,471 ms

i(∞) = V_s/R = 5/68 = 0,07353 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,07353·(1 − e^−1/1,471) = 0,03628 A

Resposta

i = 0,03628 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 12,27 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 20 + (10 − 20)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(40) = 20 + (−10)·e^−40/155,1 = 12,27 V

Resposta

v_C = 12,27 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: T = 262,5 ns

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Período do movimento circular

Uma partícula mais rápida descreve um círculo maior, então o tempo por volta permanece o mesmo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,25) = 262,5 ns

Resposta

T = 262,5 ns

A velocidade não é necessária: é por isso que um cíclotron pode usar uma única frequência fixa.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 10,22 cm

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·10000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 978843 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,1022 m = 10,22 cm

Resposta

r = 10,22 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,9594 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·10·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (109,7)²) = 125,1 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 120/125,1 = 0,9594 A

Resposta

I = 0,9594 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 58,35 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·0,47·10⁻⁶) = 14586 rad/s

I = V/R = 2/5 = 0,4 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 14586·0,01 = 145,9 Ω

V_L = I·X_L = 0,4·145,9 = 58,35 V

Resposta

V_L = 58,35 V

Isso é Q = 29,17 vezes a tensão da fonte.

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