Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +1 µC e uma carga de −3 µC estão a 40 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 24 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +1 µCq₂ = −3 µCr₁ = 24 cmr₂ = 16 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +1 µC e +1 µC estão a 6 cm uma da outra. O ponto P está a 6 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +1 µCd = 6 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W armazenada no indutor em t = 1 ms, em mJ.

V_s = 6 VR = 20 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Encontre a corrente do indutor i em t = 15 ms.

V_s = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 33 ΩL = 100 mHt = 15 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 20 espiras tem uma área de 80 cm². A bobina está num campo uniforme de 0,5 T perpendicular ao seu plano, e o campo é desligado em 500 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 20A = 80 cm²B = 0,5 TΔt = 500 ms

ε = mV

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 200 espiras, 10 cm × 10 cm, gira num campo uniforme de 0,5 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 222,1 V?

N = 200A = 10 cm × 10 cmB = 0,5 TE_rms = 222,1 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 47 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,21 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,24² = 156076 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,16² = 1,054 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |156076 + 1,054 × 10⁶| = 1,21 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,21 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,574 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(3² + 6²) = 6,708 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,06708² = 1,998 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·1,998 × 10⁶·0,8944 = 3,574 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 3,574 × 10⁶ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,515 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω

R_eq = R₁ + 4,8 = 15 + 4,8 = 19,8 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/19,8 = 1,515 A

Resposta

I_R1 = 1,515 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,5571 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 6 + 15 = 21 Ω

R₄ ∥ 21 = 12,35 Ω

R₃ + 12,35 = 24,35 Ω

R₂ ∥ 24,35 = 8,039 Ω

R_eq = R₁ + 8,039 = 10 + 8,039 = 18,04 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/18,04 = 0,8315 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,8315·10 = 6,685 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,685/12 = 0,5571 A

Resposta

I_R2 = 0,5571 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W = 0,353 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 22 mH / 20 Ω = 1,1 ms

i(∞) = V_s/R = 6/20 = 0,3 A

Corrente no instante dado

i(t) = 0,3·(1 − e^−1/1,1) = 0,1791 A

Energia armazenada

W = ½·L·i² = ½·22·0,1791² = 0,353 mJ

Resposta

W = 0,353 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,8288 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 10/(10 + 33) = 0,2326 A

i(∞) = 10/10 = 1 A

τ = L/R = 100/10 = 10 ms

i(t) = 1 + (0,2326 − 1)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(15) = 1 + (−0,7674)·e^−15/10 = 0,8288 A

Resposta

i = 0,8288 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 160 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 0,5·0,008 = 0,004 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,004/0,5 = 0,16 V

Resposta

ε = 160 mV

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 2999 rpm

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 314,1 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 314,1/(200·0,5·0,01) = 314,1 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·314,1/(2π) = 2999 rpm

Resposta

n = 2999 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,1637 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,02 = 6,283 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−61,44)²) = 73,32 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/73,32 = 0,1637 A

Resposta

I = 0,1637 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,2135 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,2 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (560,6)²) = 562 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 120/562 = 0,2135 A

Resposta

I = 0,2135 A

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