Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +1 µC e uma carga de −10 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 30 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +1 µCq₂ = −10 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 4 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 4 µC está a 3 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 5 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 5 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 2 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a corrente i em t = 2 ms.

i(0) = 2 AR = 20 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 9 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 6,75 V, exatamente 500 ms após o início. Com R = 100 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 9 VV_th = 6,75 VT = 500 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma barra metálica de 30 cm de comprimento desliza a 8 m/s sobre dois trilhos num campo uniforme de 0,4 T entrando na página. Os trilhos são ligados por um resistor de 2 Ω; a barra e os trilhos têm resistência desprezível. Encontre a potência P dissipada no resistor.

B = 0,4 TL = 30 cmv = 8 m/sR = 2 Ω

P = mW

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 150 espiras, 12 cm × 10 cm, gira a 1500 rpm num campo uniforme de 0,3 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre o valor eficaz E_rms da fem.

N = 150A = 12 cm × 10 cmB = 0,3 Tn = 1500 rpm

E_rms = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 50 V (eficaz), 50 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 50 ΩC = 47 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 60 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 22 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,347 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,3² = 99889 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,2² = 2,247 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |99889 + 2,247 × 10⁶| = 2,347 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 2,347 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 195,4 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·4·4 × 10⁻¹²/0,03² = 159,8 N

F₂ = k·5·4 × 10⁻¹²/0,04² = 112,4 N

Soma vetorial

F = √(159,8² + 112,4²) = 195,4 N

Resposta

F = 195,4 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 16,8 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 12 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 6·24/(6+24) = 4,8 Ω

R_eq = R₁ + 4,8 = 12 + 4,8 = 16,8 Ω

Resposta

R_eq = 16,8 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 22 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 15 + 6 = 21 Ω

R₄ ∥ 21 = 1,826 Ω

R₃ + 1,826 = 31,83 Ω

R₂ ∥ 31,83 = 14 Ω

R_eq = R₁ + 14 = 8 + 14 = 22 Ω

Resposta

R_eq = 22 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,5951 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 33 mH / 20 Ω = 1,65 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 2·e^−2/1,65 = 0,5951 A

Resposta

i = 0,5951 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 3,607 µF

Constante de tempo necessária

6,75 = 9·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 6,75))

τ = 500/1,386 = 360,7 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 360,7/100 = 3,607 µF

Resposta

C = 3,607 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: P = 460,8 mW

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de movimento

ε = BLv = 0,4·0,3·8 = 0,96 V

Corrente

I = ε/R = 0,96/2 = 0,48 A

Potência

P = εI = 0,96·0,48 = 0,4608 W

Resposta

P = 460,8 mW

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E_rms = 59,98 V

Velocidade angular e área

ω = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

A = 0,012 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 150·0,3·0,012·157,1 = 84,82 V

Valor eficaz

E_rms = 84,82/√2 = 59,98 V

Resposta

E_rms = 59,98 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = −36,44 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 50/50 = 1 A

I_X = V/X_C = 50/67,73 = 0,7383 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1² + 0,7383²) = 1,243 A

Ângulo de fase

A corrente do capacitor está adiantada em relação a V, então a corrente total fica adiantada e o ângulo é negativo.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,7383/1) = −36,44°

Resposta

φ = −36,44°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 75,87 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·22·10⁻⁶)) = 75,87 Hz

Resposta

f₀ = 75,87 Hz

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