Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: −10 µC à esquerda, +3 µC à direita a 40 cm de distância, e +3 µC entre elas, a 10 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −10 µCq_R = +3 µCq_M = +3 µCr_L = 10 cmr_R = 30 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 10 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 2 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 5 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 5 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 36 VR₁ = 3 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 5 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 3 V, exatamente 10 ms após o início. Com R = 100 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 5 VV_th = 3 VT = 10 msR = 100 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 200 espiras, área 200 cm² e resistência 20 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,05 T para 0,35 T em 500 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 200A = 200 cm²B: 0,05 T → 0,35 TΔt = 500 msR = 20 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um dêuteron passa sem desvio por um seletor de velocidade com campos cruzados E = 1 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,25 T. Em seguida entra numa segunda região com apenas um campo magnético B₂ = 1 T, em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória ali.

E = 1 × 10⁵ V/mB₁ = 0,25 TB₂ = 1 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 100 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 500 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 47 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 27,87 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = −k·10·3 × 10⁻¹²/0,1² = −26,97 N

F_R = −k·3·3 × 10⁻¹²/0,3² = −0,899 N

Força resultante

F = −26,97 + (−0,899) = −27,87 N → |F| = 27,87 N

Resposta

F = 27,87 N

A força resultante aponta para a esquerda.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 86,18 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·2·10 × 10⁻¹²/0,06² = 49,94 N

F₂ = k·5·10 × 10⁻¹²/0,08² = 70,23 N

Soma vetorial

F = √(49,94² + 70,23²) = 86,18 N

Resposta

F = 86,18 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,369 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 3·16/(3+16) = 2,526 Ω

R_eq = R₁ + 2,526 = 15 + 2,526 = 17,53 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/17,53 = 1,369 A

Resposta

I_R1 = 1,369 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 4,256 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 2,7 Ω

R₃ + 2,7 = 32,7 Ω

R₂ ∥ 32,7 = 4,337 Ω

R_eq = R₁ + 4,337 = 3 + 4,337 = 7,337 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/7,337 = 4,907 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 36 − 4,907·3 = 21,28 V

I_R2 = V_A/R₂ = 21,28/5 = 4,256 A

Resposta

I_R2 = 4,256 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 3,311 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 9/10 = 0,9 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−1/1 = 3,311 V

Resposta

v_L = 3,311 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 0,1091 µF

Constante de tempo necessária

3 = 5·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(5/(5 − 3))

τ = 10/0,9163 = 10,91 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 10,91/100 = 0,1091 µF

Resposta

C = 0,1091 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 120 mA

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,35 − 0,05)·0,02 = 0,006 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,006/0,5 = 2,4 V

Corrente

I = ε/R = 2,4/20 = 0,12 A

Resposta

I = 120 mA

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 0,835 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 1 × 10⁵/0,25 = 400000 m/s

Raio no segundo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,00835 m = 0,835 cm

Resposta

r = 0,835 cm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = −85,46 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·2,2·10⁻⁶) = 723,4 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−629,2)²) = 631,2 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−629,2/50) = −85,46°

Resposta

φ = −85,46°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 0,2622 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (307,4)²) = 310 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/310 = 0,03871 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,03871·6,773 = 0,2622 V

Resposta

V_C = 0,2622 V

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