Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +10 µC e uma carga de −2 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 36 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +10 µCq₂ = −2 µCr₁ = 36 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 1 × 10⁷ m/s. As placas têm 3 cm de comprimento e o campo entre elas é 3500 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 3500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 8 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 15 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 50 ms.

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 15 Vt = 50 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 8 cm um do outro, conduzem correntes de 5 A e 15 A em sentidos opostos. Encontre a força por metro de comprimento F/L entre eles.

I₁ = 5 AI₂ = 15 Ad = 8 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 50 mH varia de forma constante de 5 A para 2 A em 10 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 50 mH5 A → 2 AΔt = 10 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 2 mH deve ressoar a 500 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 500 HzL = 2 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 10 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 10 V (rms)R = 50 ΩL = 5 mHC = 0,1 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,006 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,36² = 693673 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,24² = 312153 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |693673 + 312153| = 1,006 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,006 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 2,77 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,03/1 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3500/9,109 × 10⁻³¹ = 6,155 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·6,155 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0,00277 m = 2,77 mm

Resposta

y = 2,77 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 6,167 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 5·25/(5+25) = 4,167 Ω

R_eq = R₁ + 4,167 = 2 + 4,167 = 6,167 Ω

Resposta

R_eq = 6,167 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 18,01 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 20 + 3 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 13,02 Ω

R₃ + 13,02 = 15,02 Ω

R₂ ∥ 15,02 = 10,01 Ω

R_eq = R₁ + 10,01 = 8 + 10,01 = 18,01 Ω

Resposta

R_eq = 18,01 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 0,4347 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

i(∞) = V_s/R = 9/100 = 0,09 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−1/0,33 = 0,4347 V

Resposta

v_L = 0,4347 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 20,89 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 24 + (15 − 24)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(50) = 24 + (−9)·e^−50/47 = 20,89 V

Resposta

v_C = 20,89 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F/L = 187,5 µN/m

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Força por metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·15/0,08 = 187,5 µN/m

Resposta

F/L = 187,5 µN/m

Correntes em sentidos opostos se repelem.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 15 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,05·3/0,01 = 15 V

Resposta

ε = 15 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 50,66 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0,002) = 50,66 µF

Resposta

C = 50,66 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 44,72 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·0,1·10⁻⁶) = 44721 rad/s

I = V/R = 10/50 = 0,2 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 44721·0,005 = 223,6 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·223,6 = 44,72 V

Resposta

V_L = 44,72 V

Isso é Q = 4,472 vezes a tensão da fonte.

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