Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +2 µC e uma carga de +10 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 12 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +2 µCq₂ = +10 µCr₁ = 12 cmr₂ = 8 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 3 × 10⁷ m/s. As placas têm 8 cm de comprimento e o campo entre elas é 1300 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 8 cmE = 1300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 30 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 1 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a tensão v_R sobre R em t = 1 ms.

i(0) = 1 AR = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Quanto tempo após t = 0 a corrente do indutor atinge 0,695 A? Encontre t.

V_s = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 47 ΩL = 150 mH

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton move-se para baixo na página num campo magnético uniforme que aponta entrando na página. Clique no sentido da força magnética sobre ele.

v: para baixo na páginaB: entrando na página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 20 espiras, 5 cm × 15 cm, gira a 1200 rpm num campo uniforme de 0,05 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre a fem de pico E₀.

N = 20A = 5 cm × 15 cmB = 0,05 Tn = 1200 rpm

E₀ = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 200 Hz. Encontre a potência ativa P absorvida da fonte.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 100 µF

P = W

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 24 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 24 V (rms)R = 2 ΩL = 5 mHC = 2,2 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,28 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,12² = 1,249 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,08² = 1,405 × 10⁷ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |1,249 × 10⁶ − 1,405 × 10⁷| = 1,28 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 1,28 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,8129 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,08/3 × 10⁷ = 2,667 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1300/9,109 × 10⁻³¹ = 2,286 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·2,286 × 10¹⁴·(2,667 × 10⁻⁹)² = 0,0008129 m = 0,8129 mm

Resposta

y = 0,8129 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,504 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 15 + 2 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 15·17/(15+17) = 7,969 Ω

R_eq = R₁ + 7,969 = 4 + 7,969 = 11,97 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/11,97 = 1,504 A

Resposta

I_R1 = 1,504 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 33,67 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 20 + 6 = 26 Ω

R₄ ∥ 26 = 1,857 Ω

R₃ + 1,857 = 13,86 Ω

R₂ ∥ 13,86 = 3,674 Ω

R_eq = R₁ + 3,674 = 30 + 3,674 = 33,67 Ω

Resposta

R_eq = 33,67 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_R = 17,29 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 47 mH / 47 Ω = 1 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 1·e^−1/1 = 0,3679 A

v_R = R·i = 47·0,3679 = 17,29 V

Resposta

v_R = 17,29 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 3,832 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 24/(20 + 47) = 0,3582 A

i(∞) = 24/20 = 1,2 A

τ = L/R = 150/20 = 7,5 ms

i(t) = 1,2 + (0,3582 − 1,2)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

e^−t/τ = (0,695 − 1,2)/(0,3582 − 1,2) = 0,5999

t = 7,5·ln(1,667) = 3,832 ms

Resposta

t = 3,832 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para a direita

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

v: para baixo na página, B: entrando na página

Sentido da força

para a direita

Resposta

F: para a direita

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E₀ = 0,9425 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,0075 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 20·0,05·0,0075·125,7 = 0,9425 V

Resposta

E₀ = 0,9425 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: P = 814,9 W

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 25,13 Ω, X_C = 7,958 Ω

Impedância

|Z| = √(60² + (17,17)²) = 62,41 Ω

Potência ativa

Indutores e capacitores só armazenam e devolvem energia; o resistor absorve toda a potência ativa.

I = 230/62,41 = 3,685 A

P = I²·R = 3,685²·60 = 814,9 W

Resposta

P = 814,9 W

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 572,1 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·2,2·10⁻⁶) = 9535 rad/s

I = V/R = 24/2 = 12 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 9535·0,005 = 47,67 Ω

V_L = I·X_L = 12·47,67 = 572,1 V

Resposta

V_L = 572,1 V

Isso é Q = 23,84 vezes a tensão da fonte.

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