Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +4 µC e uma carga de −2 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +4 µCq₂ = −2 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 4 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 10 µC está a 4 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 2 µC está a 3 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 2 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 60 ms.

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 47 µFt = 60 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 200 espiras, área 40 cm² e resistência 4 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,2 T para 0,7 T em 500 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 200A = 40 cm²B: 0,2 T → 0,7 TΔt = 500 msR = 4 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 20 espiras, 10 cm × 25 cm, gira num campo uniforme de 0,25 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 33,32 V?

N = 20A = 10 cm × 25 cmB = 0,25 TE_rms = 33,32 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 60 Hz. Encontre a potência ativa P absorvida da fonte.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 10 µF

P = W

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 50 Ω, L = 20 mH e C = 0,47 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.

R = 50 ΩL = 20 mHC = 0,47 µF

Q =

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,158 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,05² = 1,438 × 10⁷ N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,05² = 7,192 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |1,438 × 10⁷ + 7,192 × 10⁶| = 2,158 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 2,158 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 238,5 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·10·4 × 10⁻¹²/0,04² = 224,7 N

F₂ = k·2·4 × 10⁻¹²/0,03² = 79,91 N

Soma vetorial

F = √(224,7² + 79,91²) = 238,5 N

Resposta

F = 238,5 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,7627 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 8 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 4·14/(4+14) = 3,111 Ω

R_eq = R₁ + 3,111 = 10 + 3,111 = 13,11 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/13,11 = 0,7627 A

Resposta

I_R1 = 0,7627 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,3629 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 12,5 Ω

R₃ + 12,5 = 22,5 Ω

R₂ ∥ 22,5 = 10,59 Ω

R_eq = R₁ + 10,59 = 4 + 10,59 = 14,59 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/14,59 = 0,6855 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,6855·4 = 7,258 V

I_R2 = V_A/R₂ = 7,258/20 = 0,3629 A

Resposta

I_R2 = 0,3629 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,07019 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

i(∞) = V_s/R = 5/68 = 0,07353 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,07353·(1 − e^−1/0,3235) = 0,07019 A

Resposta

i = 0,07019 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 3,028 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 30·2,2/(10 + 2,2) = 5,41 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 2,2·47 = 103,4 ms

Descarga

v_C(t) = 5,41·e^−60/103,4 = 3,028 V

Resposta

v_C = 3,028 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 200 mA

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,7 − 0,2)·0,004 = 0,002 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,002/0,5 = 0,8 V

Corrente

I = ε/R = 0,8/4 = 0,2 A

Resposta

I = 200 mA

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 3600 rpm

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 47,12 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 47,12/(20·0,25·0,025) = 377 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·377/(2π) = 3600 rpm

Resposta

n = 3600 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: P = 0,2331 W

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 37,7 Ω, X_C = 265,3 Ω

Impedância

|Z| = √(100² + (−227,6)²) = 248,6 Ω

Potência ativa

Indutores e capacitores só armazenam e devolvem energia; o resistor absorve toda a potência ativa.

I = 12/248,6 = 0,04828 A

P = I²·R = 0,04828²·100 = 0,2331 W

Resposta

P = 0,2331 W

10.Impedância CA e fasores

Resposta: Q = 4,126

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,47·10⁻⁶)) = 1642 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,02/(0,47·10⁻⁶)) = 4,126

Resposta

Q = 4,126

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