Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +8 µC e uma carga de −6 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 10 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +8 µCq₂ = −6 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 1 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 40 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 20° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 40 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 50% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 10 VR = 47 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 75 ms.

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 10 kΩC = 10 µFt = 75 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 25 espiras tem uma área de 50 cm². A bobina está num campo uniforme de 0,5 T perpendicular ao seu plano, e o campo é desligado em 200 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 25A = 50 cm²B = 0,5 TΔt = 200 ms

ε = mV

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Num seletor de velocidade, campos cruzados E = 2 × 10⁵ V/m e B = 0,2 T deixam passar em linha reta apenas íons de uma única velocidade. Encontre essa velocidade v.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,2 T

v = m/s

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com C = 2,2 µF deve ressoar a 100 Hz. Encontre a indutância L necessária.

f₀ = 100 HzC = 2,2 µF

L = mH

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 100 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,259 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0,1² = 7,192 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,1² = 5,394 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |7,192 × 10⁶ + 5,394 × 10⁶| = 1,259 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 1,259 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 172,4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 20° = 0,003571 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 20° = 0,2736 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2736·√(0,003571/8,99 × 10⁹) = 1,724 × 10⁻⁷ C = 172,4 nC

Resposta

q = 172,4 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 14,8 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 8 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 8·12/(8+12) = 4,8 Ω

R_eq = R₁ + 4,8 = 10 + 4,8 = 14,8 Ω

Resposta

R_eq = 14,8 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,534 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 2 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 3,684 Ω

R₃ + 3,684 = 15,68 Ω

R₂ ∥ 15,68 = 2,518 Ω

R_eq = R₁ + 2,518 = 4 + 2,518 = 6,518 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/6,518 = 1,534 A

Resposta

I_R1 = 1,534 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 0,1475 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms

i(∞) = V_s/R = 10/47 = 0,2128 A

Resolva para o tempo

0,5 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,5)

t = −0,2128·ln(0,5) = 0,1475 ms

Resposta

t = 0,1475 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 7,085 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 30·10/(10 + 10) = 15 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 10·10 = 100 ms

Descarga

v_C(t) = 15·e^−75/100 = 7,085 V

Resposta

v_C = 7,085 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 312,5 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 0,5·0,005 = 0,0025 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0025/0,2 = 0,3125 V

Resposta

ε = 312,5 mV

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: v = 1 × 10⁶ m/s

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,2 = 1 × 10⁶ m/s

Resposta

v = 1 × 10⁶ m/s

9.Impedância CA e fasores

Resposta: L = 1151 mH

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(628,3²·2,2·10⁻⁶) = 1151 mH

Resposta

L = 1151 mH

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 413,6 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (−181,5)²) = 188,3 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 230/188,3 = 1,221 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 1,221·338,6 = 413,6 V

Resposta

V_C = 413,6 V

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