Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de uma carga pontual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga
F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo
τ = RC | τ = L/R
Resposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Capacitor em CC
circuito aberto; vC não pode saltar
Indutor em CC
curto-circuito; iL não pode saltar
Regime permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
  2. Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
  3. Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
  4. Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo
B = μ0I/(2πr)
Centro de uma bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide longo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio
F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga
F = |q|vB·sin θ
Movimento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluxo
Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento
ε = BLv
Gerador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indutância
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Seletor de velocidade e espectrômetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
  2. Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
  3. Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
  4. Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frequência angular
ω = 2πf
Módulo e ângulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial
V = I·Z

Método

  1. Converta a frequência: ω = 2πf.
  2. Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
  4. Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia
++6 µC++10 µCE = 020 cm

Cargas de +6 µC e +10 µC estão a 20 cm uma da outra. A que distância x da carga de +6 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q1 = +6 µCq2 = +10 µCd = 20 cm
x = cm
2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil
10 cm8 cm+q1​ = +4 µC+q3​ = +5 µC+q2​ = +4 µC

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 5 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 4 µC está a 10 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 4 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q1 = 4 µCq2 = 4 µCq3 = 5 µCr13 = 10 cmr23 = 8 cm
F = N
3.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩIR2​AR4​4 ΩB

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 24 VR1 = 2 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 4 Ω
IR2 = A
4.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 3 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​2 ΩBR6​20 Ω

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 2 ΩR3 = 3 ΩR4 = 2 ΩR5 = 10 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
5.Transitórios RC e RLMédia
+−Vs​9 Vt = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 3,3 kΩC47 µF+−vC​

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor vC em t = 60 ms.

Vs = 9 VR1 = 1 kΩR2 = 3,3 kΩC = 47 µFt = 60 ms
vC = V
6.Transitórios RC e RLDifícil
+−Vs​9 Vabre em t = 0R1​ = 6,8 kΩR2​ = 4,7 kΩi2​C220 µF+−vC​

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente i2 em R2 em t = 500 ms.

Vs = 9 VR1 = 6,8 kΩR2 = 4,7 kΩC = 220 µFt = 500 ms
i2 = mA
7.Campos magnéticos e induçãoMédia
nBA = 200 cm², N = 500B = 0,4 T

Uma bobina de 500 espiras tem uma área de 200 cm². A bobina é virada (girada em 180°) num campo uniforme de 0,4 T, perpendicular ao seu plano, em 100 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 500A = 200 cm²B = 0,4 TΔt = 100 ms
ε = V
8.Campos magnéticos e induçãoDifícil
Bn = 1200 rpm5 cm × 15 cmN = 200B = 0,3 T

Uma bobina de 200 espiras, 5 cm × 15 cm, gira a 1200 rpm num campo uniforme de 0,3 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre a fem de pico E0.

N = 200A = 5 cm × 15 cmB = 0,3 Tn = 1200 rpm
E0 = V
9.Impedância CA e fasoresMédia
Vf0​ = 5000 HzRL = ?C = 4,7 µF

Um circuito RLC série com C = 4,7 µF deve ressoar a 5000 Hz. Encontre a indutância L necessária.

f0 = 5000 HzC = 4,7 µF
L = mH
10.Impedância CA e fasoresDifícil
24 V50 HzR1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩC = 47 µFI

Um resistor R1 está ligado em série com uma associação em paralelo de R2 e um capacitor C, a uma fonte de 24 V (eficaz), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩC = 47 µF
I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 8,73 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

6/x² = 10/(20 − x)²
(20 − x)/x = √(10/6) = 1,291

Posição

x = 20/(1 + 1,291) = 8,73 cm

Resposta

x = 8,73 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 33,35 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F1 = k·4·5 × 10⁻¹²/0,1² = 17,98 N
F2 = k·4·5 × 10⁻¹²/0,08² = 28,09 N

Soma vetorial

F = √(17,98² + 28,09²) = 33,35 N

Resposta

F = 33,35 N
3.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 2,4 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​24 VR2​6 ΩAR4​4 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 2 + 4 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 6·6/(6+6) = 3 Ω
Req = R1 + 3 = 2 + 3 = 5 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 24/5 = 4,8 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 24 − 4,8·2 = 14,4 V
IR2 = VA/R2 = 14,4/6 = 2,4 A

Resposta

IR2 = 2,4 A
4.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 0,5482 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 3 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​9 VR2​2 ΩAR4​2 ΩBR6​20 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 10 + 20 = 30 Ω
R4 ∥ 30 = 1,875 Ω
R3 + 1,875 = 4,875 Ω
R2 ∥ 4,875 = 1,418 Ω
Req = R1 + 1,418 = 15 + 1,418 = 16,42 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 9/16,42 = 0,5482 A

Resposta

IR1 = 0,5482 A
5.Transitórios RC e RL

Resposta: vC = 5,598 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar Rth; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

Rth = R1 ∥ R2 = 1·3,3/(1 + 3,3) = 0,7674 kΩ
vC(∞) = 9·3,3/(1 + 3,3) = 6,907 V

Constante de tempo

τ = Rth·C = 0,7674·47 = 36,07 ms

Curva de carga

vC(t) = 6,907·(1 − e−60/36,07) = 5,598 V

Resposta

vC = 5,598 V
6.Transitórios RC e RL

Resposta: i2 = 0,4825 mA

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

vC(0) = 9·4,7/(6,8 + 4,7) = 3,678 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R2·C = 4,7·220 = 1034 ms

Descarga

vC(t) = 3,678·e−500/1034 = 2,268 V
i2 = vC/R2 = 2,268/4,7 = 0,4825 mA

Resposta

i2 = 0,4825 mA
7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 80 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 2·0,4·0,02 = 0,016 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,016/0,1 = 80 V

Resposta

ε = 80 V
8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E0 = 56,55 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s
A = 0,0075 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 200·0,3·0,0075·125,7 = 56,55 V

Resposta

E0 = 56,55 V
9.Impedância CA e fasores

Resposta: L = 0,2156 mH

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·4,7·10⁻⁶) = 0,2156 mH

Resposta

L = 0,2156 mH
10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,6189 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

XC = 1/(2π·50·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Zp em partes real e imaginária.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 18,4 − j5,432 Ω

Impedância total

Z = 20 + 18,4 − j5,432 = 38,4 − j5,432 Ω
|Z| = √(38,4² + 5,432²) = 38,78 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 24/38,78 = 0,6189 A

Resposta

I = 0,6189 A

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