Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de uma carga pontual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga
F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo
τ = RC | τ = L/R
Resposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Capacitor em CC
circuito aberto; vC não pode saltar
Indutor em CC
curto-circuito; iL não pode saltar
Regime permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
  2. Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
  3. Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
  4. Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo
B = μ0I/(2πr)
Centro de uma bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide longo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio
F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga
F = |q|vB·sin θ
Movimento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluxo
Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento
ε = BLv
Gerador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indutância
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Seletor de velocidade e espectrômetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
  2. Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
  3. Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
  4. Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frequência angular
ω = 2πf
Módulo e ângulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial
V = I·Z

Método

  1. Converta a frequência: ω = 2πf.
  2. Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
  4. Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia
++1 µC−−4 µCP60 cm

Uma carga de +1 µC e uma carga de −4 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 45 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q1 = +1 µCq2 = −4 µCr1 = 45 cmr2 = 15 cm
E = N/C
2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil
6 cm3 cm+q1​ = +10 µC+q3​ = +1 µC+q2​ = +4 µC

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 1 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 10 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 4 µC está a 3 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q1 = 10 µCq2 = 4 µCq3 = 1 µCr13 = 6 cmr23 = 3 cm
F = N
3.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 3 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 15 VR1 = 3 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 12 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩIR2​AR4​3 ΩBR6​2 Ω

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 12 VR1 = 12 ΩR2 = 8 ΩR3 = 6 ΩR4 = 3 ΩR5 = 3 ΩR6 = 2 Ω
IR2 = A
5.Transitórios RC e RLMédia
+−Vs​15 Vt = 0R = 22 ΩL10 mHi(t)

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W(∞) armazenada no indutor depois que o circuito se estabiliza, em mJ.

Vs = 15 VR = 22 ΩL = 10 mH
W(∞) = mJ
6.Transitórios RC e RLDifícil
+−Vs​10 Vabre em t = 0R1​ = 1 kΩR2​ = 3,3 kΩi2​C100 µF+−vC​

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente i2 em R2 em t = 300 ms.

Vs = 10 VR1 = 1 kΩR2 = 3,3 kΩC = 100 µFt = 300 ms
i2 = mA
7.Campos magnéticos e induçãoMédia
dB/dt < 0I = ?

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. A intensidade do campo está diminuindo. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: saindo da páginadB/dt < 0
  1. 1horário
  2. 2anti-horário
8.Campos magnéticos e induçãoDifícil
Bn = 3600 rpm20 cm × 25 cmN = 250B = 0,5 T

Uma bobina de 250 espiras, 20 cm × 25 cm, gira a 3600 rpm num campo uniforme de 0,5 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre o valor eficaz Erms da fem.

N = 250A = 20 cm × 25 cmB = 0,5 Tn = 3600 rpm
Erms = V
9.Impedância CA e fasoresMédia
100 V1000 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2,2 µFI

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 1000 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF
I = A
10.Impedância CA e fasoresDifícil
VfR = 2 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

Um circuito RLC série tem R = 2 Ω, L = 50 mH e C = 2,2 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 2 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF
B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,643 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E1 = k·1 × 10⁻⁶/0,45² = 44395 N/C
E2 = k·4 × 10⁻⁶/0,15² = 1,598 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |44395 + 1,598 × 10⁶| = 1,643 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,643 × 10⁶ N/C
2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 47,12 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F1 = k·10·1 × 10⁻¹²/0,06² = 24,97 N
F2 = k·4·1 × 10⁻¹²/0,03² = 39,96 N

Soma vetorial

F = √(24,97² + 39,96²) = 47,12 N

Resposta

F = 47,12 N
3.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 3,293 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 3 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​15 VR2​2 ΩAR4​2 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 5 + 2 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 2·7/(2+7) = 1,556 Ω
Req = R1 + 1,556 = 3 + 1,556 = 4,556 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 15/4,556 = 3,293 A

Resposta

IR1 = 3,293 A
4.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 0,3728 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 12 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 3 Ω+−V1​12 VR2​8 ΩAR4​3 ΩBR6​2 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 3 + 2 = 5 Ω
R4 ∥ 5 = 1,875 Ω
R3 + 1,875 = 7,875 Ω
R2 ∥ 7,875 = 3,969 Ω
Req = R1 + 3,969 = 12 + 3,969 = 15,97 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 12/15,97 = 0,7515 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,7515·12 = 2,982 V
IR2 = VA/R2 = 2,982/8 = 0,3728 A

Resposta

IR2 = 0,3728 A
5.Transitórios RC e RL

Resposta: W(∞) = 2,324 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0,6818 A

Energia armazenada

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·10·0,6818² = 2,324 mJ

Resposta

W(∞) = 2,324 mJ
6.Transitórios RC e RL

Resposta: i2 = 0,937 mA

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

vC(0) = 10·3,3/(1 + 3,3) = 7,674 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R2·C = 3,3·100 = 330 ms

Descarga

vC(t) = 7,674·e−300/330 = 3,092 V
i2 = vC/R2 = 3,092/3,3 = 0,937 mA

Resposta

i2 = 0,937 mA
7.Campos magnéticos e indução

Resposta: anti-horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo entrando na página aumenta, ou o fluxo saindo da página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: saindo da página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

anti-horário

Resposta

anti-horário
8.Campos magnéticos e indução

Resposta: Erms = 1666 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0,05 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 250·0,5·0,05·377 = 2356 V

Valor eficaz

Erms = 2356/√2 = 1666 V

Resposta

Erms = 1666 V
9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,08425 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0,2 = 1257 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (1184)²) = 1187 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/1187 = 0,08425 A

Resposta

I = 0,08425 A
10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 6,366 Hz

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Frequência de ressonância

f0 = 1/(2π·√(0,05·2,2·10⁻⁶)) = 479,9 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,05/(2,2·10⁻⁶)) = 75,38

Largura de banda

B = f0/Q = 479,9/75,38 = 6,366 Hz

Resposta

B = 6,366 Hz

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