Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +3 µC e uma carga de −6 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 15 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +3 µCq₂ = −6 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 4 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 4 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 2 µC está a 3 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 2 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 5 VR₁ = 25 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 5 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 0,5 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a corrente i em t = 5 ms.

i(0) = 0,5 AR = 20 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 5 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 60 ms.

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 22 µFv_C(0) = 5 Vt = 60 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 5 cm um do outro, conduzem correntes de 2 A e 10 A em sentidos opostos. Encontre a força por metro de comprimento F/L entre eles.

I₁ = 2 AI₂ = 10 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um próton parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 2500 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,8 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,8 T

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 12 V (eficaz), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩC = 100 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 230 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,277 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,05² = 2,158 × 10⁷ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |1,199 × 10⁶ + 2,158 × 10⁷| = 2,277 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 2,277 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 89,34 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·4·4 × 10⁻¹²/0,06² = 39,96 N

F₂ = k·2·4 × 10⁻¹²/0,03² = 79,91 N

Soma vetorial

F = √(39,96² + 79,91²) = 89,34 N

Resposta

F = 89,34 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 16,29 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 6·15/(6+15) = 4,286 Ω

R_eq = R₁ + 4,286 = 12 + 4,286 = 16,29 Ω

Resposta

R_eq = 16,29 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,1729 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 15 + 5 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 10 Ω

R₃ + 10 = 18 Ω

R₂ ∥ 18 = 3,913 Ω

R_eq = R₁ + 3,913 = 25 + 3,913 = 28,91 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/28,91 = 0,1729 A

Resposta

I_R1 = 0,1729 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,05956 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 0,5·e^−5/2,35 = 0,05956 A

Resposta

i = 0,05956 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 11,54 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms

v_C(t) = 12 + (5 − 12)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(60) = 12 + (−7)·e^−60/22 = 11,54 V

Resposta

v_C = 11,54 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F/L = 80 µN/m

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Força por metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·2·10/0,05 = 80 µN/m

Resposta

F/L = 80 µN/m

Correntes em sentidos opostos se repelem.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 0,9033 cm

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2500/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 691940 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,009033 m = 0,9033 cm

Resposta

r = 0,9033 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,258 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 12/10 = 1,2 A

I_X = V/X_C = 12/31,83 = 0,377 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,2² + 0,377²) = 1,258 A

Resposta

I = 1,258 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 57,06 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 9,2 − j28,9 Ω

Impedância total

Z = 40 + 9,2 − j28,9 = 49,2 − j28,9 Ω

|Z| = √(49,2² + 28,9²) = 57,06 Ω

Resposta

|Z| = 57,06 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism