Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +5 µC e uma carga de +2 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 45 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +5 µCq₂ = +2 µCr₁ = 45 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +4 µC e −4 µC estão a 6 cm uma da outra. O ponto P está a 12 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −4 µCd = 6 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 30 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 1,5 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Quanto tempo leva para a corrente cair até 0,3 A? Encontre t.

i(0) = 1,5 AR = 10 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente i₂ em R₂ em t = 100 ms.

V_s = 6 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 33 µFt = 100 ms

i₂ = mA

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron movendo-se a 3 × 10⁶ m/s entra em um campo magnético uniforme em ângulo reto e descreve um círculo de raio 0,1706 cm. Encontre a densidade de fluxo magnético B.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sr = 0,1706 cm

B = mT

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 1000 espiras, comprimento de 25 cm e diâmetro de 4 cm. Encontre a sua autoindutância L.

N = 1000l = 25 cm⌀ = 4 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 50 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 10 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 5 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 10 mHC = 2,2 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 577136 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,45² = 221975 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,15² = 799111 N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |221975 − 799111| = 577136 N/C

Resposta

E = 577136 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,14 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(3² + 12²) = 12,37 cm

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,1237² = 2,35 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,35 × 10⁶·0,2425 = 1,14 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,14 × 10⁶ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 9,667 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 2·10/(2+10) = 1,667 Ω

R_eq = R₁ + 1,667 = 8 + 1,667 = 9,667 Ω

Resposta

R_eq = 9,667 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 39,13 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 15 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 8,308 Ω

R₃ + 8,308 = 23,31 Ω

R₂ ∥ 23,31 = 9,127 Ω

R_eq = R₁ + 9,127 = 30 + 9,127 = 39,13 Ω

Resposta

R_eq = 39,13 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 7,564 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms

Resolva para o tempo

0,3 = 1,5·e^−t/τ → t = τ·ln(1,5/0,3)

t = 4,7·ln(5) = 7,564 ms

Resposta

t = 7,564 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i₂ = 0,2372 mA

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 6·3,3/(6,8 + 3,3) = 1,96 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 3,3·33 = 108,9 ms

Descarga

v_C(t) = 1,96·e^−100/108,9 = 0,7826 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,7826/3,3 = 0,2372 mA

Resposta

i₂ = 0,2372 mA

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 9,999 mT

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo a partir do raio

B = mv/(|q|r) = 9,109 × 10⁻³¹·3 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,001706) = 9,999 mT

Resposta

B = 9,999 mT

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: L = 6,317 mH

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Seção transversal

A = π·(0,02)² = 0,001257 m²

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·1000²·0,001257/0,25 = 0,006317 H = 6,317 mH

Resposta

L = 6,317 mH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = −84,03 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−286,9)²) = 288,5 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−286,9/30) = −84,03°

Resposta

φ = −84,03°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 33,71 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·2,2·10⁻⁶) = 6742 rad/s

I = V/R = 5/10 = 0,5 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 6742·0,01 = 67,42 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·67,42 = 33,71 V

Resposta

V_L = 33,71 V

Isso é Q = 6,742 vezes a tensão da fonte.

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