Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +1 µC e uma carga de −4 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 30 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +1 µCq₂ = −4 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +2 µC e −2 µC estão a 12 cm uma da outra. O ponto P está a 8 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = −2 µCd = 12 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 10 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 6 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 2,5 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a tensão v_R sobre R em t = 5 ms.

i(0) = 2,5 AR = 33 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_R = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 25 ms.

V_s = 9 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 1 kΩC = 33 µFt = 25 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 20 espiras, área 150 cm² e resistência 8 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,2 T para 0,7 T em 40 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 20A = 150 cm²B: 0,2 T → 0,7 TΔt = 40 msR = 8 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um dêuteron parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 5000 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,5 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0,5 T

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 60 Hz. Encontre a potência ativa P absorvida da fonte.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

P = W

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 120 V (eficaz), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 40 ΩC = 47 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 998889 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,3² = 99889 N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,2² = 899000 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |99889 + 899000| = 998889 N/C

Resposta

E = 998889 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,158 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(6² + 8²) = 10 cm

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,1² = 1,798 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,798 × 10⁶·0,6 = 2,158 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 2,158 × 10⁶ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 25,87 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 10 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 8·22/(8+22) = 5,867 Ω

R_eq = R₁ + 5,867 = 20 + 5,867 = 25,87 Ω

Resposta

R_eq = 25,87 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 14,03 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 30 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 10,75 Ω

R₃ + 10,75 = 40,75 Ω

R₂ ∥ 40,75 = 8,03 Ω

R_eq = R₁ + 8,03 = 6 + 8,03 = 14,03 Ω

Resposta

R_eq = 14,03 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_R = 7,289 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 68 mH / 33 Ω = 2,061 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 2,5·e^−5/2,061 = 0,2209 A

v_R = R·i = 33·0,2209 = 7,289 V

Resposta

v_R = 7,289 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 0,5409 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 9·1/(6,8 + 1) = 1,154 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 1·33 = 33 ms

Descarga

v_C(t) = 1,154·e^−25/33 = 0,5409 V

Resposta

v_C = 0,5409 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 468,7 mA

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,7 − 0,2)·0,015 = 0,0075 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,0075/0,04 = 3,75 V

Corrente

I = ε/R = 3,75/8 = 0,4687 A

Resposta

I = 468,7 mA

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 2,89 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·5000/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 692147 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,0289 m = 2,89 cm

Resposta

r = 2,89 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: P = 3,251 W

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 18,85 Ω, X_C = 564,4 Ω

Impedância

|Z| = √(100² + (−545,5)²) = 554,6 Ω

Potência ativa

Indutores e capacitores só armazenam e devolvem energia; o resistor absorve toda a potência ativa.

I = 100/554,6 = 0,1803 A

P = I²·R = 0,1803²·100 = 3,251 W

Resposta

P = 3,251 W

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 2,367 A

Reatância

X_C = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 16,7 − j19,73 Ω

Impedância total

Z = 30 + 16,7 − j19,73 = 46,7 − j19,73 Ω

|Z| = √(46,7² + 19,73²) = 50,69 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 120/50,69 = 2,367 A

Resposta

I = 2,367 A

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