Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de −10 µC e −6 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 40 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −10 µCq₂ = −6 µCr = 40 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 6 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 6 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 5 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 5 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 8 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 75% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 20 VR = 100 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 30 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 25,8 V? Encontre t.

V_s = 24 VR = 6,8 kΩC = 22 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron move-se para baixo na página num campo magnético uniforme que aponta entrando na página. Clique no sentido da força magnética sobre ele.

v: para baixo na páginaB: entrando na página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma partícula alfa parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 1000 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,2 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,2 T

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 12 V (eficaz), 200 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩC = 100 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 500 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 3,596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (−10 + −6)/2 = −8 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(8 × 10⁻⁶)²/0,4² = 3,596 N

Resposta

F = 3,596 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 176 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·6·6 × 10⁻¹²/0,08² = 50,57 N

F₂ = k·5·6 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

Soma vetorial

F = √(50,57² + 168,6²) = 176 N

Resposta

F = 176 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,203 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 3·23/(3+23) = 2,654 Ω

R_eq = R₁ + 2,654 = 15 + 2,654 = 17,65 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/17,65 = 1,359 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,359·15 = 3,608 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,608/3 = 1,203 A

Resposta

I_R2 = 1,203 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,374 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 6 + 8 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 3,684 Ω

R₃ + 3,684 = 6,684 Ω

R₂ ∥ 6,684 = 5,466 Ω

R_eq = R₁ + 5,466 = 12 + 5,466 = 17,47 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/17,47 = 1,374 A

Resposta

I_R1 = 1,374 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 0,6516 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 47 mH / 100 Ω = 0,47 ms

i(∞) = V_s/R = 20/100 = 0,2 A

Resolva para o tempo

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −0,47·ln(0,25) = 0,6516 ms

Resposta

t = 0,6516 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 180,1 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 22 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 24 + (30 − 24)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

25,8 = 24 + (6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (25,8 − 24)/(30 − 24) = 0,3

t = τ·ln((30 − 24)/(25,8 − 24)) = 149,6·ln(3,333) = 180,1 ms

Resposta

t = 180,1 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para a esquerda

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

v: para baixo na página, B: entrando na página

Carga negativa

A força sobre um elétron é oposta à força sobre uma carga positiva.

Sentido da força

para a esquerda

Resposta

F: para a esquerda

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 3,22 cm

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·1000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 310537 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,0322 m = 3,22 cm

Resposta

r = 3,22 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = −75,14 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 12/30 = 0,4 A

I_X = V/X_C = 12/7,958 = 1,508 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,4² + 1,508²) = 1,56 A

Ângulo de fase

A corrente do capacitor está adiantada em relação a V, então a corrente total fica adiantada e o ângulo é negativo.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(1,508/0,4) = −75,14°

Resposta

φ = −75,14°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 339,3 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·2,2·10⁻⁶)) = 339,3 Hz

Resposta

f₀ = 339,3 Hz

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