Lei de Coulomb e campos elétricos
- Lei de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo de uma carga pontual
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Força sobre uma carga
- F = q·E
Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Resistores em série e paralelo
- Resistências em série
- Req = R1 + R2 + …
- Resistências em paralelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dois em paralelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Lei de Ohm
- V = I·R
- Potência
- P = V·I = I²R = V²/R
Método
- Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
- Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Redesenhe o circuito após cada passo.
- Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.
Transitórios RC e RL
- Constante de tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Resposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Capacitor em CC
- circuito aberto; vC não pode saltar
- Indutor em CC
- curto-circuito; iL não pode saltar
- Regime permanente
- t ≈ 5τ
Método
- Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
- Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
- Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
- Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campos magnéticos e indução
- Fio reto e longo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro de uma bobina plana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide longo
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Força sobre um fio
- F = BIL·sin θ
- Força sobre uma carga
- F = |q|vB·sin θ
- Movimento circular
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fios paralelos
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluxo
- Φ = BA·cos θ
- Lei de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Barra em movimento
- ε = BLv
- Gerador
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Indutância
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Indutância mútua
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Seletor de velocidade e espectrômetro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Método
- Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
- Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
- Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
- Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.
Impedância CA e fasores
- Impedâncias
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Frequência angular
- ω = 2πf
- Módulo e ângulo
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Lei de Ohm fasorial
- V = I·Z
Método
- Converta a frequência: ω = 2πf.
- Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
- Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.
2Exercícios
1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia
Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de −3 µC e +1 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 15 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −3 µCq2 = +1 µCr = 15 cm
F = N
2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil
Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 5 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 4 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 3 µC está a 5 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.
q1 = 4 µCq2 = 3 µCq3 = 5 µCr13 = 6 cmr23 = 5 cm
F = N
3.Resistores em série e paraleloMédia
Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.
V1 = 9 VR1 = 2 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 ΩR4 = 2 Ω
Req = Ω
4.Resistores em série e paraleloDifícil
Encontre a resistência equivalente Req vista pela fonte V1.
V1 = 30 VR1 = 3 ΩR2 = 6 ΩR3 = 10 ΩR4 = 25 ΩR5 = 25 ΩR6 = 10 Ω
Req = Ω
5.Transitórios RC e RLMédia
O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W(∞) armazenada no indutor depois que o circuito se estabiliza, em mJ.
Vs = 9 VR = 50 ΩL = 100 mH
W(∞) = mJ
6.Transitórios RC e RLDifícil
Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 20 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor vC em t = 50 ms.
Vs = 15 VR = 1 kΩC = 22 µFvC(0) = 20 Vt = 50 ms
vC = V
7.Campos magnéticos e induçãoMédia
Uma bobina de 50 espiras, área 25 cm² e resistência 20 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0 T para 0,6 T em 200 ms. Encontre a corrente induzida média I.
N = 50A = 25 cm²B: 0 T → 0,6 TΔt = 200 msR = 20 Ω
I = mA
8.Campos magnéticos e induçãoDifícil
Um solenoide longo com núcleo de ar tem 300 espiras, comprimento de 20 cm e diâmetro de 1,5 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 1 A.
N = 300l = 20 cm⌀ = 1,5 cmI = 1 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
W = µJ
9.Impedância CA e fasoresMédia
Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.
V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF
I = A
10.Impedância CA e fasoresDifícil
Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 2 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz VL sobre o indutor.
V = 2 V (rms)R = 10 ΩL = 100 mHC = 1 µF
VL = V
3Soluções
1.Lei de Coulomb e campos elétricos
Resposta: F = 0,3996 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Carga após o contato
q′ = (−3 + 1)/2 = −1 µC
Nova força
F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,3996 N
Resposta
F = 0,3996 N
As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.
2.Lei de Coulomb e campos elétricos
Resposta: F = 73,51 N
Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.
Cada força sobre q₃
F1 = k·4·5 × 10⁻¹²/0,06² = 49,94 N
F2 = k·3·5 × 10⁻¹²/0,05² = 53,94 N
Soma vetorial
F = √(49,94² + 53,94²) = 73,51 N
Resposta
F = 73,51 N
3.Resistores em série e paralelo
Resposta: Req = 6,118 Ω
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R3 + R4 = 5 + 2 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 10·7/(10+7) = 4,118 Ω
Req = R1 + 4,118 = 2 + 4,118 = 6,118 Ω
Resposta
Req = 6,118 Ω
4.Resistores em série e paralelo
Resposta: Req = 7,823 Ω
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R5 + R6 = 25 + 10 = 35 Ω
R4 ∥ 35 = 14,58 Ω
R3 + 14,58 = 24,58 Ω
R2 ∥ 24,58 = 4,823 Ω
Req = R1 + 4,823 = 3 + 4,823 = 7,823 Ω
Resposta
Req = 7,823 Ω
5.Transitórios RC e RL
Resposta: W(∞) = 1,62 mJ
Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.
Constante de tempo e corrente final
Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.
τ = L/R = 100 mH / 50 Ω = 2 ms
i(∞) = Vs/R = 9/50 = 0,18 A
Energia armazenada
W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·100·0,18² = 1,62 mJ
Resposta
W(∞) = 1,62 mJ
6.Transitórios RC e RL
Resposta: vC = 15,52 V
Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.
Valor inicial, valor final, constante de tempo
A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.
vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms
vC(t) = 15 + (20 − 15)·e−t/τ
Tensão no instante dado
vC(50) = 15 + (5)·e−50/22 = 15,52 V
Resposta
vC = 15,52 V
7.Campos magnéticos e indução
Resposta: I = 18,75 mA
Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).
Variação do fluxo por espira
ΔΦ = (0,6 − 0)·0,0025 = 0,0015 Wb
Fem média
ε = NΔΦ/Δt = 50·0,0015/0,2 = 0,375 V
Corrente
I = ε/R = 0,375/20 = 0,01875 A
Resposta
I = 18,75 mA
8.Campos magnéticos e indução
Resposta: W = 49,96 µJ
Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).
Autoindutância
L = μ₀N²A/l = 99,93 µH
Energia armazenada
W = ½LI² = ½·9,993 × 10⁻⁵·1² = 4,996 × 10⁻⁵ J = 49,96 µJ
Resposta
W = 49,96 µJ
9.Impedância CA e fasores
Resposta: I = 0,6272 A
Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Reatâncias
ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XL = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω
Impedância
Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (28,97)²) = 38,26 Ω
Corrente
A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.
I = V/|Z| = 24/38,26 = 0,6272 A
Resposta
I = 0,6272 A
10.Impedância CA e fasores
Resposta: VL = 63,25 V
Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Ressonância
Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·1·10⁻⁶) = 3162 rad/s
I = V/R = 2/10 = 0,2 A
Tensão sobre o indutor
XL = ω₀L = 3162·0,1 = 316,2 Ω
VL = I·XL = 0,2·316,2 = 63,25 V
Resposta
VL = 63,25 V
Isso é Q = 31,62 vezes a tensão da fonte.
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