Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +8 µC e −10 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 50 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = −10 µCr = 50 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 1 × 10⁷ m/s. As placas têm 10 cm de comprimento e o campo entre elas é 300 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 300 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 30 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a constante de tempo τ do circuito após o fechamento da chave.

V_s = 6 VR₁ = 10 kΩR₂ = 10 kΩC = 10 µF

τ = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está fechada há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente do indutor i em t = 5 ms.

V_s = 15 VR₁ = 33 ΩR₂ = 47 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 25 espiras tem uma área de 10 cm². Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,2 T para 0,4 T em 10 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 25A = 10 cm²B: 0,2 T → 0,4 TΔt = 10 ms

ε = mV

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma partícula alfa parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 2000 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,2 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 2000 VB = 0,2 T

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 1 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 200 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 0,03596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (8 + −10)/2 = −1 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,5² = 0,03596 N

Resposta

F = 0,03596 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 2,638 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,1/1 × 10⁷ = 1 × 10⁻⁸ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·300/9,109 × 10⁻³¹ = 5,276 × 10¹³ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·5,276 × 10¹³·(1 × 10⁻⁸)² = 0,002638 m = 2,638 mm

Resposta

y = 2,638 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,5143 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 2·30/(2+30) = 1,875 Ω

R_eq = R₁ + 1,875 = 20 + 1,875 = 21,88 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/21,88 = 0,5486 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,5486·20 = 1,029 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,029/2 = 0,5143 A

Resposta

I_R2 = 0,5143 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 36,24 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 20 = 30 Ω

R₄ ∥ 30 = 8,571 Ω

R₃ + 8,571 = 16,57 Ω

R₂ ∥ 16,57 = 6,237 Ω

R_eq = R₁ + 6,237 = 30 + 6,237 = 36,24 Ω

Resposta

R_eq = 36,24 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: τ = 50 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·10/(10 + 10) = 5 kΩ

v_C(∞) = 6·10/(10 + 10) = 3 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 5·10 = 50 ms

Resposta

τ = 50 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,2308 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 a chave fechada desvia R₂; depois R₁ e R₂ estão os dois na malha.

i(0) = 15/33 = 0,4545 A

i(∞) = 15/(33 + 47) = 0,1875 A

τ = L/R = 220/80 = 2,75 ms

i(t) = 0,1875 + (0,4545 − 0,1875)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(5) = 0,1875 + (0,267)·e^−5/2,75 = 0,2308 A

Resposta

i = 0,2308 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 500 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,4 − 0,2)·0,001 = 0,0002 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0002/0,01 = 0,5 V

Resposta

ε = 500 mV

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 4,554 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·2000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 439166 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,04554 m = 4,554 cm

Resposta

r = 4,554 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,07386 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−161,2)²) = 162,5 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/162,5 = 0,07386 A

Resposta

I = 0,07386 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 103,8 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·47·10⁻⁶)) = 103,8 Hz

Resposta

f₀ = 103,8 Hz

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