Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +3 µC e +1 µC estão a 60 cm uma da outra. A que distância x da carga de +3 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +3 µCq₂ = +1 µCd = 60 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 3,5 × 10⁷ m/s. As placas têm 10 cm de comprimento e o campo entre elas é 3400 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 3400 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 2 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W armazenada no indutor em t = 5 ms, em mJ.

V_s = 20 VR = 22 ΩL = 47 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 20 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 500 ms.

V_s = 15 VR = 6,8 kΩC = 47 µFv_C(0) = 20 Vt = 500 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 25 espiras tem uma área de 25 cm². A bobina é virada (girada em 180°) num campo uniforme de 0,5 T, perpendicular ao seu plano, em 250 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 25A = 25 cm²B = 0,5 TΔt = 250 ms

ε = mV

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Num seletor de velocidade, campos cruzados E = 4 × 10⁴ V/m e B = 0,5 T deixam passar em linha reta apenas íons de uma única velocidade. Encontre essa velocidade v.

E = 4 × 10⁴ V/mB₁ = 0,5 T

v = m/s

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 200 Hz. Encontre o fator de potência cos φ do circuito.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

cos φ =

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 200 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 38,04 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

3/x² = 1/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(1/3) = 0,5774

Posição

x = 60/(1 + 0,5774) = 38,04 cm

Resposta

x = 38,04 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 2,441 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,1/3,5 × 10⁷ = 2,857 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3400/9,109 × 10⁻³¹ = 5,98 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·5,98 × 10¹⁴·(2,857 × 10⁻⁹)² = 0,002441 m = 2,441 mm

Resposta

y = 2,441 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 7,667 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 2 = 4 Ω

R₂ ∥ 4 = 8·4/(8+4) = 2,667 Ω

R_eq = R₁ + 2,667 = 5 + 2,667 = 7,667 Ω

Resposta

R_eq = 7,667 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 21,28 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 2 = 27 Ω

R₄ ∥ 27 = 7,297 Ω

R₃ + 7,297 = 17,3 Ω

R₂ ∥ 17,3 = 9,275 Ω

R_eq = R₁ + 9,275 = 12 + 9,275 = 21,28 Ω

Resposta

R_eq = 21,28 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W = 15,86 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2,136 ms

i(∞) = V_s/R = 20/22 = 0,9091 A

Corrente no instante dado

i(t) = 0,9091·(1 − e^−5/2,136) = 0,8216 A

Energia armazenada

W = ½·L·i² = ½·47·0,8216² = 15,86 mJ

Resposta

W = 15,86 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 16,05 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 47 µF = 319,6 ms

v_C(t) = 15 + (20 − 15)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(500) = 15 + (5)·e^−500/319,6 = 16,05 V

Resposta

v_C = 16,05 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 250 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 2·0,5·0,0025 = 0,0025 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0025/0,25 = 0,25 V

Resposta

ε = 250 mV

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: v = 80000 m/s

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 4 × 10⁴/0,5 = 80000 m/s

Resposta

v = 80000 m/s

9.Impedância CA e fasores

Resposta: cos φ = 0,1261

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 125,7 Ω, X_C = 361,7 Ω

Impedância

|Z| = √(30² + (−236,1)²) = 238 Ω

Fator de potência

cos φ = R/|Z| = 30/238 = 0,1261

O circuito é capacitivo, então o fator de potência é capacitivo (adiantado).

Resposta

cos φ = 0,1261

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 239,9 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·2,2·10⁻⁶)) = 239,9 Hz

Resposta

f₀ = 239,9 Hz

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