Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de −3 µC e +10 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 30 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −3 µCq₂ = +10 µCr = 30 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 2,5 × 10⁷ m/s. As placas têm 4 cm de comprimento e o campo entre elas é 2000 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 2,5 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 2000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 1,5 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a tensão v_R sobre R em t = 1 ms.

i(0) = 1,5 AR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms

v_R = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 9 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 5,4 V, exatamente 25 ms após o início. Com C = 1 µF, encontre a resistência R necessária.

V_s = 9 VV_th = 5,4 VT = 25 msC = 1 µF

R = kΩ

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron descreve um círculo num campo magnético uniforme de 1 mT. Encontre o tempo T que ele leva para uma volta.

m = 9,109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 1 mT

T = ns

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina curta de 20 espiras está enrolada firmemente em torno do meio de um solenoide longo de 800 espiras, comprimento de 30 cm e diâmetro de 5 cm. A corrente no solenoide varia a 1000 A/s. Encontre a fem ε induzida na bobina curta.

N₁ = 800N₂ = 20l = 30 cm⌀ = 5 cmdi/dt = 1000 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 10 mH deve ressoar a 5000 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 5000 HzL = 10 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 1000 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 22 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 1,224 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (−3 + 10)/2 = 3,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(3,5 × 10⁻⁶)²/0,3² = 1,224 N

Resposta

F = 1,224 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,4502 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,04/2,5 × 10⁷ = 1,6 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2000/9,109 × 10⁻³¹ = 3,517 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·3,517 × 10¹⁴·(1,6 × 10⁻⁹)² = 0,0004502 m = 0,4502 mm

Resposta

y = 0,4502 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 18,35 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 15·11/(15+11) = 6,346 Ω

R_eq = R₁ + 6,346 = 12 + 6,346 = 18,35 Ω

Resposta

R_eq = 18,35 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 10,07 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 6 + 3 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 2,769 Ω

R₃ + 2,769 = 32,77 Ω

R₂ ∥ 32,77 = 5,071 Ω

R_eq = R₁ + 5,071 = 5 + 5,071 = 10,07 Ω

Resposta

R_eq = 10,07 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_R = 4,637 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 1,5·e^−1/0,3235 = 0,06819 A

v_R = R·i = 68·0,06819 = 4,637 V

Resposta

v_R = 4,637 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: R = 27,28 kΩ

Constante de tempo necessária

5,4 = 9·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(9/(9 − 5,4))

τ = 25/0,9163 = 27,28 ms

Resistência

kΩ vezes µF dá milissegundos.

R = τ/C = 27,28/1 = 27,28 kΩ

Resposta

R = 27,28 kΩ

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: T = 35,73 ns

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Período do movimento circular

Uma partícula mais rápida descreve um círculo maior, então o tempo por volta permanece o mesmo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9,109 × 10⁻³¹/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,001) = 35,73 ns

Resposta

T = 35,73 ns

A velocidade não é necessária: é por isso que um cíclotron pode usar uma única frequência fixa.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 131,6 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Indutância mútua

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·20·0,001963/0,3 = 131,6 µH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,0001316·1000 = 131,6 mV

Resposta

ε = 131,6 mV

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 0,1013 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,01) = 0,1013 µF

Resposta

C = 0,1013 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,03859 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (306,9)²) = 311 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/311 = 0,03859 A

Resposta

I = 0,03859 A

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