Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +10 µC e +6 µC estão a 30 cm uma da outra. A que distância x da carga de +10 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +10 µCq₂ = +6 µCd = 30 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +3 µC e −3 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está a 8 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 10 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 5 ms.

V_s = 10 VR = 10 ΩL = 33 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 12 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 10,8 V, exatamente 500 ms após o início. Com R = 22 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 12 VV_th = 10,8 VT = 500 msR = 22 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton descreve um círculo num campo magnético uniforme de 0,8 T. Encontre o tempo T que ele leva para uma volta.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,8 T

T = ns

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 1000 espiras, comprimento de 25 cm e diâmetro de 4 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 1,5 A.

N = 1000l = 25 cm⌀ = 4 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 200 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 47 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 16,91 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

10/x² = 6/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(6/10) = 0,7746

Posição

x = 30/(1 + 0,7746) = 16,91 cm

Resposta

x = 16,91 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,212 × 10⁶ N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(5² + 8²) = 9,434 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,09434² = 3,03 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·3,03 × 10⁶·0,53 = 3,212 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 3,212 × 10⁶ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,9036 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 6 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 2·8/(2+8) = 1,6 Ω

R_eq = R₁ + 1,6 = 15 + 1,6 = 16,6 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/16,6 = 0,9036 A

Resposta

I_R1 = 0,9036 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,5537 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 2 + 30 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 2,743 Ω

R₃ + 2,743 = 17,74 Ω

R₂ ∥ 17,74 = 3,264 Ω

R_eq = R₁ + 3,264 = 10 + 3,264 = 13,26 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/13,26 = 0,6785 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,6785·10 = 2,215 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,215/4 = 0,5537 A

Resposta

I_R2 = 0,5537 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 2,198 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3,3 ms

i(∞) = V_s/R = 10/10 = 1 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−5/3,3 = 2,198 V

Resposta

v_L = 2,198 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 9,87 µF

Constante de tempo necessária

10,8 = 12·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(12/(12 − 10,8))

τ = 500/2,303 = 217,1 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 217,1/22 = 9,87 µF

Resposta

C = 9,87 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: T = 82,02 ns

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Período do movimento circular

Uma partícula mais rápida descreve um círculo maior, então o tempo por volta permanece o mesmo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,8) = 82,02 ns

Resposta

T = 82,02 ns

A velocidade não é necessária: é por isso que um cíclotron pode usar uma única frequência fixa.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: W = 7,106 mJ

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 6,317 mH

Energia armazenada

W = ½LI² = ½·0,006317·1,5² = 0,007106 J = 7,106 mJ

Resposta

W = 7,106 mJ

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,5488 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−81,85)²) = 91,11 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/91,11 = 0,5488 A

Resposta

I = 0,5488 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 18,02 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (45,9)²) = 46,98 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/46,98 = 1,064 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 1,064·16,93 = 18,02 V

Resposta

V_C = 18,02 V

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism