Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +2 µC e +1 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 5 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +2 µCq₂ = +1 µCr = 5 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +3 µC e −3 µC estão a 8 cm uma da outra. O ponto P está a 8 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = −3 µCd = 8 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 5 ms.

V_s = 10 VR = 15 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está fechada há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave abre. Quanto tempo após t = 0 a corrente do indutor atinge 0,771 A? Encontre t.

V_s = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩL = 100 mH

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um fio conduz uma corrente para cima na página num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. Clique no sentido da força magnética sobre o fio.

I: para cima na páginaB: saindo da página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 500 espiras, 8 cm × 20 cm, gira num campo uniforme de 0,2 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 142,2 V?

N = 500A = 8 cm × 20 cmB = 0,2 TE_rms = 142,2 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 500 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 100 mHC = 47 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 50 V (eficaz), 100 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 20 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 8,091 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (2 + 1)/2 = 1,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 8,091 N

Resposta

F = 8,091 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,015 × 10⁶ N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(4² + 8²) = 8,944 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,08944² = 3,371 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·3,371 × 10⁶·0,4472 = 3,015 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 3,015 × 10⁶ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,667 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 6·30/(6+30) = 5 Ω

R_eq = R₁ + 5 = 4 + 5 = 9 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/9 = 2 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2·4 = 10 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10/6 = 1,667 A

Resposta

I_R2 = 1,667 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 2,727 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 4 + 2 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 4 Ω

R₃ + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 1,778 Ω

R_eq = R₁ + 1,778 = 8 + 1,778 = 9,778 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9,778 = 3,068 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 3,068·8 = 5,455 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,455/2 = 2,727 A

Resposta

I_R2 = 2,727 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 4,724 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 10/15 = 0,6667 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−5/6,667 = 4,724 V

Resposta

v_L = 4,724 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 1,463 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 a chave fechada desvia R₂; depois R₁ e R₂ estão os dois na malha.

i(0) = 15/15 = 1 A

i(∞) = 15/(15 + 20) = 0,4286 A

τ = L/R = 100/35 = 2,857 ms

i(t) = 0,4286 + (1 − 0,4286)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

e^−t/τ = (0,771 − 0,4286)/(1 − 0,4286) = 0,5993

t = 2,857·ln(1,669) = 1,463 ms

Resposta

t = 1,463 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para a direita

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

I: para cima na página, B: saindo da página

Sentido da força

para a direita

Resposta

F: para a direita

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 1200 rpm

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 201,1 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 201,1/(500·0,2·0,016) = 125,7 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

Resposta

n = 1200 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 85,35 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·47·10⁻⁶) = 6,773 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (307,4)²) = 308,4 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(307,4/25) = 85,35°

Resposta

φ = 85,35°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 38,99 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 7,755 − j9,745 Ω

Impedância total

Z = 30 + 7,755 − j9,745 = 37,75 − j9,745 Ω

|Z| = √(37,75² + 9,745²) = 38,99 Ω

Resposta

|Z| = 38,99 Ω

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism