Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +6 µC e +3 µC estão a 30 cm uma da outra. A que distância x da carga de +6 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +6 µCq₂ = +3 µCd = 30 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 6 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 10 µC está a 10 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 2 µC está a 3 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 2 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 30 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 95% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 12 VR = 68 ΩL = 68 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 30 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 25,2 V? Encontre t.

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 47 µFv_C(0) = 30 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um fio conduz uma corrente para baixo na página num campo magnético uniforme que aponta entrando na página. Clique no sentido da força magnética sobre o fio.

I: para baixo na páginaB: entrando na página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 250 espiras, 15 cm × 10 cm, gira a 1800 rpm num campo uniforme de 0,25 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre o valor eficaz E_rms da fem.

N = 250A = 15 cm × 10 cmB = 0,25 Tn = 1800 rpm

E_rms = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 60 Hz. Encontre o fator de potência cos φ do circuito.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 10 µF

cos φ =

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 60 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 80 ΩL = 200 mHC = 4,7 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 17,57 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

6/x² = 3/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(3/6) = 0,7071

Posição

x = 30/(1 + 0,7071) = 17,57 cm

Resposta

x = 17,57 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 131,4 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,1² = 53,94 N

F₂ = k·2·6 × 10⁻¹²/0,03² = 119,9 N

Soma vetorial

F = √(53,94² + 119,9²) = 131,4 N

Resposta

F = 131,4 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,619 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 2·11/(2+11) = 1,692 Ω

R_eq = R₁ + 1,692 = 8 + 1,692 = 9,692 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/9,692 = 0,619 A

Resposta

I_R1 = 0,619 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,8317 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 25 = 37 Ω

R₄ ∥ 37 = 3,61 Ω

R₃ + 3,61 = 7,61 Ω

R₂ ∥ 7,61 = 6,07 Ω

R_eq = R₁ + 6,07 = 30 + 6,07 = 36,07 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/36,07 = 0,8317 A

Resposta

I_R1 = 0,8317 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 2,996 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 12/68 = 0,1765 A

Resolva para o tempo

0,95 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,95)

t = −1·ln(0,05) = 2,996 ms

Resposta

t = 2,996 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 75,64 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 47 µF = 47 ms

v_C(t) = 24 + (30 − 24)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

25,2 = 24 + (6)·e^−t/τ → e^−t/τ = (25,2 − 24)/(30 − 24) = 0,2

t = τ·ln((30 − 24)/(25,2 − 24)) = 47·ln(5) = 75,64 ms

Resposta

t = 75,64 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para a direita

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

I: para baixo na página, B: entrando na página

Sentido da força

para a direita

Resposta

F: para a direita

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E_rms = 125 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,015 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 250·0,25·0,015·188,5 = 176,7 V

Valor eficaz

E_rms = 176,7/√2 = 125 V

Resposta

E_rms = 125 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: cos φ = 0,3883

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 75,4 Ω, X_C = 265,3 Ω

Impedância

|Z| = √(80² + (−189,9)²) = 206 Ω

Fator de potência

cos φ = R/|Z| = 80/206 = 0,3883

O circuito é capacitivo, então o fator de potência é capacitivo (adiantado).

Resposta

cos φ = 0,3883

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 56,95 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,2 = 75,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (−489)²) = 495,5 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/495,5 = 0,1009 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,1009·564,4 = 56,95 V

Resposta

V_C = 56,95 V

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