Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +1 µC e +5 µC estão a 80 cm uma da outra. A que distância x da carga de +1 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +1 µCq₂ = +5 µCd = 80 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 8 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 100 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 15° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 100 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 68 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 15 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 12 V, exatamente 500 ms após o início. Com C = 1 µF, encontre a resistência R necessária.

V_s = 15 VV_th = 12 VT = 500 msC = 1 µF

R = kΩ

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton move-se a 1 × 10⁶ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 1,5 T. Encontre o raio r da sua trajetória circular.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁶ m/sB = 1,5 T

r = cm

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 150 espiras, 15 cm × 25 cm, gira a 1200 rpm num campo uniforme de 0,5 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre o valor eficaz E_rms da fem.

N = 150A = 15 cm × 25 cmB = 0,5 Tn = 1200 rpm

E_rms = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 24 V (eficaz), 50 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 20 Ω, L = 200 mH e C = 2,2 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.

R = 20 ΩL = 200 mHC = 2,2 µF

Q =

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 24,72 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

1/x² = 5/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(5/1) = 2,236

Posição

x = 80/(1 + 2,236) = 24,72 cm

Resposta

x = 24,72 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 791,7 nC

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 15° = 0,02103 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 15° = 0,5176 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,5176·√(0,02103/8,99 × 10⁹) = 7,917 × 10⁻⁷ C = 791,7 nC

Resposta

q = 791,7 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 3,438 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 2 = 6 Ω

R₂ ∥ 6 = 5·6/(5+6) = 2,727 Ω

R_eq = R₁ + 2,727 = 6 + 2,727 = 8,727 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/8,727 = 3,438 A

Resposta

I_R1 = 3,438 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,73 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 15 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 9,079 Ω

R₃ + 9,079 = 12,08 Ω

R₂ ∥ 12,08 = 2,403 Ω

R_eq = R₁ + 2,403 = 8 + 2,403 = 10,4 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/10,4 = 1,73 A

Resposta

I_R1 = 1,73 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,09296 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 68 mH / 68 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 10/68 = 0,1471 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1471·(1 − e^−1/1) = 0,09296 A

Resposta

i = 0,09296 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: R = 310,7 kΩ

Constante de tempo necessária

12 = 15·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(15/(15 − 12))

τ = 500/1,609 = 310,7 ms

Resistência

kΩ vezes µF dá milissegundos.

R = τ/C = 310,7/1 = 310,7 kΩ

Resposta

R = 310,7 kΩ

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 0,6962 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilíbrio de forças

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raio

r = 1,673 × 10⁻²⁷·1 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·1,5) = 0,006962 m = 0,6962 cm

Resposta

r = 0,6962 cm

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E_rms = 249,9 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,0375 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 150·0,5·0,0375·125,7 = 353,4 V

Valor eficaz

E_rms = 353,4/√2 = 249,9 V

Resposta

E_rms = 249,9 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 9,54 Ω

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 24/10 = 2,4 A

I_X = V/X_C = 24/31,83 = 0,754 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,4² + 0,754²) = 2,516 A

Impedância

|Z| = V/I = 24/2,516 = 9,54 Ω

Resposta

|Z| = 9,54 Ω

10.Impedância CA e fasores

Resposta: Q = 15,08

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,2·2,2·10⁻⁶)) = 239,9 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(2,2·10⁻⁶)) = 15,08

Resposta

Q = 15,08

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