Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +1 µC e uma carga de +2 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 30 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +1 µCq₂ = +2 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +1 µC e −1 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está a 8 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −1 µCd = 10 cmh = 8 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 2 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 9 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 7,2 V, exatamente 10 ms após o início. Com C = 4,7 µF, encontre a resistência R necessária.

V_s = 9 VV_th = 7,2 VT = 10 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 200 espiras tem uma área de 200 cm². Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0 T para 0,8 T em 200 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 200A = 200 cm²B: 0 T → 0,8 TΔt = 200 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina curta de 200 espiras está enrolada firmemente em torno do meio de um solenoide longo de 2000 espiras, comprimento de 30 cm e diâmetro de 5 cm. Encontre a indutância mútua M entre eles.

N₁ = 2000N₂ = 200l = 30 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = mH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 60 Hz. Encontre a potência ativa P absorvida da fonte.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 25 ΩL = 150 mHC = 10 µF

P = W

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 24 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 24 V (rms)R = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 349611 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,3² = 99889 N/C

E₂ = k·2 × 10⁻⁶/0,2² = 449500 N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |99889 − 449500| = 349611 N/C

Resposta

E = 349611 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,071 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(5² + 8²) = 9,434 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,09434² = 1,01 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·1,01 × 10⁶·0,53 = 1,071 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,071 × 10⁶ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,2647 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 20·24/(20+24) = 10,91 Ω

R_eq = R₁ + 10,91 = 20 + 10,91 = 30,91 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/30,91 = 0,4853 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,4853·20 = 5,294 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,294/20 = 0,2647 A

Resposta

I_R2 = 0,2647 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,189 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 2 + 2 = 4 Ω

R₄ ∥ 4 = 3,448 Ω

R₃ + 3,448 = 11,45 Ω

R₂ ∥ 11,45 = 2,964 Ω

R_eq = R₁ + 2,964 = 12 + 2,964 = 14,96 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/14,96 = 1,604 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,604·12 = 4,754 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,754/4 = 1,189 A

Resposta

I_R2 = 1,189 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,2586 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 9/22 = 0,4091 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,4091·(1 − e^−1/1) = 0,2586 A

Resposta

i = 0,2586 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: R = 1,322 kΩ

Constante de tempo necessária

7,2 = 9·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(9/(9 − 7,2))

τ = 10/1,609 = 6,213 ms

Resistência

kΩ vezes µF dá milissegundos.

R = τ/C = 6,213/4,7 = 1,322 kΩ

Resposta

R = 1,322 kΩ

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 16 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,8 − 0)·0,02 = 0,016 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,016/0,2 = 16 V

Resposta

ε = 16 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: M = 3,29 mH

Indutância mútua

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·200·0,001963/0,3 = 3,29 mH

Resposta

M = 3,29 mH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: P = 1,415 W

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 56,55 Ω, X_C = 265,3 Ω

Impedância

|Z| = √(25² + (−208,7)²) = 210,2 Ω

Potência ativa

Indutores e capacitores só armazenam e devolvem energia; o resistor absorve toda a potência ativa.

I = 50/210,2 = 0,2379 A

P = I²·R = 0,2379²·25 = 1,415 W

Resposta

P = 1,415 W

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 48 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,1·10·10⁻⁶) = 1000 rad/s

I = V/R = 24/50 = 0,48 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 1000·0,1 = 100 Ω

V_L = I·X_L = 0,48·100 = 48 V

Resposta

V_L = 48 V

Isso é Q = 2 vezes a tensão da fonte.

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