Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +6 µC e uma carga de −6 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 24 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 3 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 30 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 15° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 30 cmθ = 15°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 15 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 200 ms.

V_s = 9 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 10 kΩC = 33 µFt = 200 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 15 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 19,5 V? Encontre t.

V_s = 24 VR = 4,7 kΩC = 220 µFv_C(0) = 15 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma barra metálica de 25 cm de comprimento desliza a 3 m/s sobre dois trilhos num campo uniforme de 0,4 T entrando na página. Os trilhos são ligados por um resistor de 0,5 Ω; a barra e os trilhos têm resistência desprezível. Encontre a corrente I.

B = 0,4 TL = 25 cmv = 3 m/sR = 0,5 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 200 espiras, comprimento de 40 cm e diâmetro de 1,5 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 4 A.

N = 200l = 40 cm⌀ = 1,5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = µJ

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 200 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 250 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,353 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,24² = 936458 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,36² = 416204 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |936458 + 416204| = 1,353 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,353 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 145,4 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 15° = 0,007886 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,3·sin 15° = 0,1553 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1553·√(0,007886/8,99 × 10⁹) = 1,454 × 10⁻⁷ C = 145,4 nC

Resposta

q = 145,4 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 20,24 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 10·11/(10+11) = 5,238 Ω

R_eq = R₁ + 5,238 = 15 + 5,238 = 20,24 Ω

Resposta

R_eq = 20,24 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 2,494 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 15 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 7,5 Ω

R₃ + 7,5 = 15,5 Ω

R₂ ∥ 15,5 = 7,623 Ω

R_eq = R₁ + 7,623 = 2 + 7,623 = 9,623 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/9,623 = 2,494 A

Resposta

I_R1 = 2,494 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 6,179 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3,3·10/(3,3 + 10) = 2,481 kΩ

v_C(∞) = 9·10/(3,3 + 10) = 6,767 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 2,481·33 = 81,88 ms

Curva de carga

v_C(t) = 6,767·(1 − e^−200/81,88) = 6,179 V

Resposta

v_C = 6,179 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 716,7 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 220 µF = 1034 ms

v_C(t) = 24 + (15 − 24)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

19,5 = 24 + (−9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (19,5 − 24)/(15 − 24) = 0,5

t = τ·ln((15 − 24)/(19,5 − 24)) = 1034·ln(2) = 716,7 ms

Resposta

t = 716,7 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 600 mA

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de movimento

ε = BLv = 0,4·0,25·3 = 0,3 V

Corrente

I = ε/R = 0,3/0,5 = 0,6 A

Resposta

I = 600 mA

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: W = 177,7 µJ

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 22,21 µH

Energia armazenada

W = ½LI² = ½·2,221 × 10⁻⁵·4² = 0,0001777 J = 177,7 µJ

Resposta

W = 177,7 µJ

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,824 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−18,74)²) = 27,41 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 50/27,41 = 1,824 A

Resposta

I = 1,824 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 318,3 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,25·1·10⁻⁶)) = 318,3 Hz

Resposta

f₀ = 318,3 Hz

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