Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +5 µC e −8 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 25 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −8 µCr = 25 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +10 µC e −10 µC estão a 8 cm uma da outra. O ponto P está a 4 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = −10 µCd = 8 cmh = 4 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 20 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 200 ms.

V_s = 10 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 220 µFt = 200 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 2 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 8,4 V? Encontre t.

V_s = 10 VR = 1 kΩC = 22 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 25 espiras, área 50 cm² e resistência 20 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,1 T para 0,7 T em 50 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 25A = 50 cm²B: 0,1 T → 0,7 TΔt = 50 msR = 20 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 500 mH varia de forma constante de 2 A para 7 A em 10 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 500 mH2 A → 7 AΔt = 10 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com C = 4,7 µF deve ressoar a 5000 Hz. Encontre a indutância L necessária.

f₀ = 5000 HzC = 4,7 µF

L = mH

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 0,3236 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (5 + −8)/2 = −1,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,25² = 0,3236 N

Resposta

F = 0,3236 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,973 × 10⁷ N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(4² + 4²) = 5,657 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,05657² = 2,809 × 10⁷ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,809 × 10⁷·0,7071 = 3,973 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 3,973 × 10⁷ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,8285 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 12 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 15·22/(15+22) = 8,919 Ω

R_eq = R₁ + 8,919 = 4 + 8,919 = 12,92 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12,92 = 1,393 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,393·4 = 12,43 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12,43/15 = 0,8285 A

Resposta

I_R2 = 0,8285 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,2449 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 20 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 1,84 Ω

R₃ + 1,84 = 3,84 Ω

R₂ ∥ 3,84 = 2,341 Ω

R_eq = R₁ + 2,341 = 12 + 2,341 = 14,34 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/14,34 = 0,6276 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,6276·12 = 1,469 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,469/6 = 0,2449 A

Resposta

I_R2 = 0,2449 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 0,7913 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 kΩ

v_C(∞) = 10·4,7/(10 + 4,7) = 3,197 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 3,197·220 = 703,4 ms

Curva de carga

v_C(t) = 3,197·(1 − e^−200/703,4) = 0,7913 V

Resposta

v_C = 0,7913 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 35,41 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms

v_C(t) = 10 + (2 − 10)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

8,4 = 10 + (−8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,4 − 10)/(2 − 10) = 0,2

t = τ·ln((2 − 10)/(8,4 − 10)) = 22·ln(5) = 35,41 ms

Resposta

t = 35,41 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 75 mA

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,7 − 0,1)·0,005 = 0,003 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,003/0,05 = 1,5 V

Corrente

I = ε/R = 1,5/20 = 0,075 A

Resposta

I = 75 mA

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 250 V

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,5·5/0,01 = 250 V

Resposta

ε = 250 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: L = 0,2156 mH

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

L = 1/(ω₀²·C) = 1/(31416²·4,7·10⁻⁶) = 0,2156 mH

Resposta

L = 0,2156 mH

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,1509 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−661,5)²) = 662,8 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/662,8 = 0,1509 A

Resposta

I = 0,1509 A

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