Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +4 µC e uma carga de +10 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 8 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +4 µCq₂ = +10 µCr₁ = 8 cmr₂ = 12 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 5 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 40 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 20° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 5 gL = 40 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W armazenada no indutor em t = 1 ms, em mJ.

V_s = 5 VR = 15 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 5 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 3 V, exatamente 10 ms após o início. Com R = 1 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 5 VV_th = 3 VT = 10 msR = 1 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 100 espiras tem uma área de 40 cm². Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,1 T para 0,4 T em 10 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 100A = 40 cm²B: 0,1 T → 0,4 TΔt = 10 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 100 mH e 10 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,9. A corrente na primeira bobina varia a 500 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 100 mHL₂ = 10 mHk = 0,9di/dt = 500 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 150 mHC = 100 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 24 V (eficaz), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 40 ΩC = 22 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 624306 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,08² = 5,619 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,12² = 6,243 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |5,619 × 10⁶ − 6,243 × 10⁶| = 624306 N/C

Resposta

E = 624306 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 385,6 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,005·9,81·tan 20° = 0,01785 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 20° = 0,2736 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2736·√(0,01785/8,99 × 10⁹) = 3,856 × 10⁻⁷ C = 385,6 nC

Resposta

q = 385,6 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 8,526 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 3·16/(3+16) = 2,526 Ω

R_eq = R₁ + 2,526 = 6 + 2,526 = 8,526 Ω

Resposta

R_eq = 8,526 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,41 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 20 + 8 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 3,5 Ω

R₃ + 3,5 = 23,5 Ω

R₂ ∥ 23,5 = 4,78 Ω

R_eq = R₁ + 4,78 = 2 + 4,78 = 6,78 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/6,78 = 1,77 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 1,77·2 = 8,46 V

I_R2 = V_A/R₂ = 8,46/6 = 1,41 A

Resposta

I_R2 = 1,41 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W = 0,2986 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 22 mH / 15 Ω = 1,467 ms

i(∞) = V_s/R = 5/15 = 0,3333 A

Corrente no instante dado

i(t) = 0,3333·(1 − e^−1/1,467) = 0,1648 A

Energia armazenada

W = ½·L·i² = ½·22·0,1648² = 0,2986 mJ

Resposta

W = 0,2986 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 10,91 µF

Constante de tempo necessária

3 = 5·(1 − e^−10/τ) → τ = 10/ln(5/(5 − 3))

τ = 10/0,9163 = 10,91 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 10,91/1 = 10,91 µF

Resposta

C = 10,91 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 12 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,4 − 0,1)·0,004 = 0,0012 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0012/0,01 = 12 V

Resposta

ε = 12 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 14,23 V

Indutância mútua

M = 0,9·√(100·10) = 28,46 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,02846·500 = 14,23 V

Resposta

ε = 14,23 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,6606 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7,958 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (180,5)²) = 181,6 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 120/181,6 = 0,6606 A

Resposta

I = 0,6606 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,4127 A

Reatância

X_C = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 30,63 − j16,94 Ω

Impedância total

Z = 25 + 30,63 − j16,94 = 55,63 − j16,94 Ω

|Z| = √(55,63² + 16,94²) = 58,16 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 24/58,16 = 0,4127 A

Resposta

I = 0,4127 A

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