Lei de Coulomb e campos elétricos
- Lei de Coulomb
- F = k·|q1q2|/r²
- Campo de uma carga pontual
- E = k·|q|/r²
- Constante
- k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
- Força sobre uma carga
- F = q·E
Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão
Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.
1Fórmulas e métodos
Resistores em série e paralelo
- Resistências em série
- Req = R1 + R2 + …
- Resistências em paralelo
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- Dois em paralelo
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- Lei de Ohm
- V = I·R
- Potência
- P = V·I = I²R = V²/R
Método
- Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
- Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
- Redesenhe o circuito após cada passo.
- Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.
Transitórios RC e RL
- Constante de tempo
- τ = RC | τ = L/R
- Resposta
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- Capacitor em CC
- circuito aberto; vC não pode saltar
- Indutor em CC
- curto-circuito; iL não pode saltar
- Regime permanente
- t ≈ 5τ
Método
- Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
- Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
- Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
- Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Campos magnéticos e indução
- Fio reto e longo
- B = μ0I/(2πr)
- Centro de uma bobina plana
- B = μ0NI/(2R)
- Solenoide longo
- B = μ0nI, n = N/L
- Constante
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- Força sobre um fio
- F = BIL·sin θ
- Força sobre uma carga
- F = |q|vB·sin θ
- Movimento circular
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- Fios paralelos
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- Fluxo
- Φ = BA·cos θ
- Lei de Faraday
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- Barra em movimento
- ε = BLv
- Gerador
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- Indutância
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- Indutância mútua
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- Seletor de velocidade e espectrômetro
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
Método
- Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
- Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
- Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
- Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.
Impedância CA e fasores
- Impedâncias
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- Frequência angular
- ω = 2πf
- Módulo e ângulo
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- Lei de Ohm fasorial
- V = I·Z
Método
- Converta a frequência: ω = 2πf.
- Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
- Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
- Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.
2Exercícios
1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia
Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de −3 µC e −5 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 5 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −3 µCq2 = −5 µCr = 5 cm
F = N
2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil
Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 4 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 1 µC está a 3 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 3 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.
q1 = 1 µCq2 = 3 µCq3 = 4 µCr13 = 3 cmr23 = 4 cm
F = N
3.Resistores em série e paraleloMédia
Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.
V1 = 15 VR1 = 6 ΩR2 = 20 ΩR3 = 4 ΩR4 = 2 Ω
IR1 = A
4.Resistores em série e paraleloDifícil
Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.
V1 = 12 VR1 = 30 ΩR2 = 2 ΩR3 = 5 ΩR4 = 6 ΩR5 = 10 ΩR6 = 30 Ω
IR1 = A
5.Transitórios RC e RLMédia
O indutor conduz uma corrente constante de 3 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a tensão vR sobre R em t = 5 ms.
i(0) = 3 AR = 10 ΩL = 47 mHt = 5 ms
vR = V
6.Transitórios RC e RLDifícil
Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 2 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor vC em t = 400 ms.
Vs = 6 VR = 4,7 kΩC = 100 µFvC(0) = 2 Vt = 400 ms
vC = V
7.Campos magnéticos e induçãoMédia
Uma partícula alfa move-se a 5 × 10⁵ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 0,8 T. Encontre o raio r da sua trajetória circular.
m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁵ m/sB = 0,8 T
r = cm
8.Campos magnéticos e induçãoDifícil
Num seletor de velocidade, campos cruzados E = 4 × 10⁴ V/m e B = 0,05 T deixam passar em linha reta apenas íons de uma única velocidade. Encontre essa velocidade v.
E = 4 × 10⁴ V/mB1 = 0,05 T
v = m/s
9.Impedância CA e fasoresMédia
Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 500 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).
V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 100 mHC = 1 µF
φ = °
10.Impedância CA e fasoresDifícil
Um circuito RLC série tem R = 50 Ω, L = 50 mH e C = 0,022 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.
R = 50 ΩL = 50 mHC = 0,022 µF
Q =
3Soluções
1.Lei de Coulomb e campos elétricos
Resposta: F = 57,54 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
Carga após o contato
q′ = (−3 + −5)/2 = −4 µC
Nova força
F = 8,99 × 10⁹·(4 × 10⁻⁶)²/0,05² = 57,54 N
Resposta
F = 57,54 N
As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.
2.Lei de Coulomb e campos elétricos
Resposta: F = 78,37 N
Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.
Cada força sobre q₃
F1 = k·1·4 × 10⁻¹²/0,03² = 39,96 N
F2 = k·3·4 × 10⁻¹²/0,04² = 67,42 N
Soma vetorial
F = √(39,96² + 67,42²) = 78,37 N
Resposta
F = 78,37 N
3.Resistores em série e paralelo
Resposta: IR1 = 1,413 A
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R3 + R4 = 4 + 2 = 6 Ω
R2 ∥ 6 = 20·6/(20+6) = 4,615 Ω
Req = R1 + 4,615 = 6 + 4,615 = 10,62 Ω
Corrente da fonte
A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.
IR1 = V1/Req = 15/10,62 = 1,413 A
Resposta
IR1 = 1,413 A
4.Resistores em série e paralelo
Resposta: IR1 = 0,3789 A
Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.
Combine os resistores a partir da extremidade mais distante
Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.
R5 + R6 = 10 + 30 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 5,217 Ω
R3 + 5,217 = 10,22 Ω
R2 ∥ 10,22 = 1,673 Ω
Req = R1 + 1,673 = 30 + 1,673 = 31,67 Ω
Corrente da fonte
A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.
IR1 = V1/Req = 12/31,67 = 0,3789 A
Resposta
IR1 = 0,3789 A
5.Transitórios RC e RL
Resposta: vR = 10,35 V
Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.
Constante de tempo
τ = L/R = 47 mH / 10 Ω = 4,7 ms
Decaimento da corrente
i(t) = 3·e−5/4,7 = 1,035 A
vR = R·i = 10·1,035 = 10,35 V
Resposta
vR = 10,35 V
6.Transitórios RC e RL
Resposta: vC = 4,292 V
Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.
Valor inicial, valor final, constante de tempo
A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.
vC(0) = 2 V, vC(∞) = Vs = 6 V
τ = R·C = 4,7 kΩ · 100 µF = 470 ms
vC(t) = 6 + (2 − 6)·e−t/τ
Tensão no instante dado
vC(400) = 6 + (−4)·e−400/470 = 4,292 V
Resposta
vC = 4,292 V
7.Campos magnéticos e indução
Resposta: r = 1,296 cm
Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Equilíbrio de forças
A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
Raio
r = 6,645 × 10⁻²⁷·5 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,8) = 0,01296 m = 1,296 cm
Resposta
r = 1,296 cm
8.Campos magnéticos e indução
Resposta: v = 800000 m/s
Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).
Velocidade selecionada
Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.
v = E/B1 = 4 × 10⁴/0,05 = 800000 m/s
Resposta
v = 800000 m/s
9.Impedância CA e fasores
Resposta: φ = −4,745 °
Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Reatâncias
ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·1·10⁻⁶) = 318,3 Ω
Impedância
Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(50² + (−4,151)²) = 50,17 Ω
Ângulo de fase
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−4,151/50) = −4,745°
Resposta
φ = −4,745°
10.Impedância CA e fasores
Resposta: Q = 30,15
Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.
Frequência de ressonância
f0 = 1/(2π·√(0,05·0,022·10⁻⁶)) = 4799 Hz
Fator de qualidade
Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,05/(0,022·10⁻⁶)) = 30,15
Resposta
Q = 30,15
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