Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +2 µC e uma carga de +8 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 20 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +2 µCq₂ = +8 µCr₁ = 20 cmr₂ = 30 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 8 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 5 µC está a 5 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 6 µC está a 6 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 6 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 10 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 10 ms.

V_s = 9 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 1000 ms.

V_s = 30 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 10 kΩC = 220 µFt = 1000 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 200 espiras, área 50 cm² e resistência 20 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,05 T para 0,65 T em 200 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 200A = 50 cm²B: 0,05 T → 0,65 TΔt = 200 msR = 20 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 200 mH e 10 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,5. A corrente na primeira bobina varia a 10 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 200 mHL₂ = 10 mHk = 0,5di/dt = 10 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 200 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 10 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 20 Ω, L = 100 mH e C = 0,47 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 20 ΩL = 100 mHC = 0,47 µF

B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 349611 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,2² = 449500 N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,3² = 799111 N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |449500 − 799111| = 349611 N/C

Resposta

E = 349611 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 187,2 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·5·8 × 10⁻¹²/0,05² = 143,8 N

F₂ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,06² = 119,9 N

Soma vetorial

F = √(143,8² + 119,9²) = 187,2 N

Resposta

F = 187,2 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 10,76 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 20 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 12·22/(12+22) = 7,765 Ω

R_eq = R₁ + 7,765 = 3 + 7,765 = 10,76 Ω

Resposta

R_eq = 10,76 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 19,3 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 5 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4,8 Ω

R₃ + 4,8 = 14,8 Ω

R₂ ∥ 14,8 = 9,296 Ω

R_eq = R₁ + 9,296 = 10 + 9,296 = 19,3 Ω

Resposta

R_eq = 19,3 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,1615 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms

i(∞) = V_s/R = 9/50 = 0,18 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,18·(1 − e^−10/4,4) = 0,1615 A

Resposta

i = 0,1615 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 14,32 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 30·10/(3,3 + 10) = 22,56 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 10·220 = 2200 ms

Descarga

v_C(t) = 22,56·e^−1000/2200 = 14,32 V

Resposta

v_C = 14,32 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 150 mA

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,65 − 0,05)·0,005 = 0,003 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,003/0,2 = 3 V

Corrente

I = ε/R = 3/20 = 0,15 A

Resposta

I = 150 mA

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 0,2236 V

Indutância mútua

M = 0,5·√(200·10) = 22,36 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,02236·10 = 0,2236 V

Resposta

ε = 0,2236 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = −29,17 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,05 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−16,75)²) = 34,36 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−16,75/30) = −29,17°

Resposta

φ = −29,17°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 31,83 Hz

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,1·0,47·10⁻⁶)) = 734,1 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,1/(0,47·10⁻⁶)) = 23,06

Largura de banda

B = f₀/Q = 734,1/23,06 = 31,83 Hz

Resposta

B = 31,83 Hz

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