Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +6 µC e uma carga de +3 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 10 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +6 µCq₂ = +3 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +5 µC e −5 µC estão a 6 cm uma da outra. O ponto P está a 3 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +5 µCq₂ = −5 µCd = 6 cmh = 3 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 1 ms.

V_s = 9 VR = 20 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 30 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 10 µFt = 30 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 6 cm um do outro, conduzem correntes de 20 A e 8 A em sentidos opostos. Encontre o módulo da densidade de fluxo magnético B no ponto P, a meio caminho entre eles.

I₁ = 20 AI₂ = 8 Ad = 6 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 800 espiras, comprimento de 50 cm e diâmetro de 1 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 4 A.

N = 800l = 50 cm⌀ = 1 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 1000 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 12 V (eficaz), 100 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,697 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,1² = 5,394 × 10⁶ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,1² = 2,697 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |5,394 × 10⁶ − 2,697 × 10⁶| = 2,697 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 2,697 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,532 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(3² + 3²) = 4,243 cm

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,04243² = 2,497 × 10⁷ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·2,497 × 10⁷·0,7071 = 3,532 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 3,532 × 10⁷ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,229 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 12 = 17 Ω

R₂ ∥ 17 = 15·17/(15+17) = 7,969 Ω

R_eq = R₁ + 7,969 = 5 + 7,969 = 12,97 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/12,97 = 2,313 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,313·5 = 18,43 V

I_R2 = V_A/R₂ = 18,43/15 = 1,229 A

Resposta

I_R2 = 1,229 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 14,4 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 25 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 1,892 Ω

R₃ + 1,892 = 31,89 Ω

R₂ ∥ 31,89 = 6,396 Ω

R_eq = R₁ + 6,396 = 8 + 6,396 = 14,4 Ω

Resposta

R_eq = 14,4 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 1,218 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0,5 ms

i(∞) = V_s/R = 9/20 = 0,45 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 9·e^−1/0,5 = 1,218 V

Resposta

v_L = 1,218 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 2,027 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 12·4,7/(10 + 4,7) = 3,837 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 4,7·10 = 47 ms

Descarga

v_C(t) = 3,837·e^−30/47 = 2,027 V

Resposta

v_C = 2,027 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 186,7 µT

Campo magnético de correntes: em torno de um fio reto e longo, as linhas de campo são círculos (regra da mão direita) com B = μ₀I/(2πr). No centro de uma bobina circular plana de N espiras, B = μ₀NI/(2R). Dentro de um solenoide longo o campo é uniforme, B = μ₀nI com n = N/L espiras por metro, qualquer que seja o raio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Trabalhe em unidades do SI (metros e ampères) e some vetorialmente os campos de várias fontes.

Campo de cada fio em P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·20/0,03 = 133,3 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·8/0,03 = 53,33 µT

Combine

B = B₁ + B₂ = 186,7 µT

Resposta

B = 186,7 µT

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: W = 1,011 mJ

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 126,3 µH

Energia armazenada

W = ½LI² = ½·0,0001263·4² = 0,001011 J = 1,011 mJ

Resposta

W = 1,011 mJ

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 41,63 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (53,32)²) = 80,27 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(53,32/60) = 41,63°

Resposta

φ = 41,63°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 24,91 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 6,589 − j12,42 Ω

Impedância total

Z = 15 + 6,589 − j12,42 = 21,59 − j12,42 Ω

|Z| = √(21,59² + 12,42²) = 24,91 Ω

Resposta

|Z| = 24,91 Ω

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