Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +3 µC e uma carga de −4 µC estão a 30 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 15 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +3 µCq₂ = −4 µCr₁ = 15 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 8 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 20 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 8° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 20 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 15 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 36 VR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 4 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W armazenada no indutor em t = 5 ms, em mJ.

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 5 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 11 V? Encontre t.

V_s = 20 VR = 3,3 kΩC = 68 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton descreve um círculo num campo magnético uniforme de 0,4 T. Encontre o tempo T que ele leva para uma volta.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,4 T

T = ns

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma partícula alfa passa sem desvio por um seletor de velocidade com campos cruzados E = 5 × 10⁴ V/m e B₁ = 0,2 T. Em seguida entra numa segunda região com apenas um campo magnético B₂ = 0,2 T, em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória ali.

E = 5 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 TB₂ = 0,2 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 100 Hz. Encontre a potência ativa P absorvida da fonte.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 47 µF

P = W

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 200 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,797 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,15² = 1,199 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,15² = 1,598 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |1,199 × 10⁶ + 1,598 × 10⁶| = 2,797 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 2,797 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 61,66 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 8° = 0,01103 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 8° = 0,05567 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,05567·√(0,01103/8,99 × 10⁹) = 6,166 × 10⁻⁸ C = 61,66 nC

Resposta

q = 61,66 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,8065 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 15 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 12·25/(12+25) = 8,108 Ω

R_eq = R₁ + 8,108 = 12 + 8,108 = 20,11 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/20,11 = 1,194 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,194·12 = 9,677 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,677/12 = 0,8065 A

Resposta

I_R2 = 0,8065 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 14,97 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 2 + 4 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 4 Ω

R₃ + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 8,974 Ω

R_eq = R₁ + 8,974 = 6 + 8,974 = 14,97 Ω

Resposta

R_eq = 14,97 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W = 1,625 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0,2727 A

Corrente no instante dado

i(t) = 0,2727·(1 − e^−5/3,091) = 0,2186 A

Energia armazenada

W = ½·L·i² = ½·68·0,2186² = 1,625 mJ

Resposta

W = 1,625 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 114,6 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 20 + (5 − 20)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

11 = 20 + (−15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11 − 20)/(5 − 20) = 0,6

t = τ·ln((5 − 20)/(11 − 20)) = 224,4·ln(1,667) = 114,6 ms

Resposta

t = 114,6 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: T = 164 ns

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Período do movimento circular

Uma partícula mais rápida descreve um círculo maior, então o tempo por volta permanece o mesmo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,4) = 164 ns

Resposta

T = 164 ns

A velocidade não é necessária: é por isso que um cíclotron pode usar uma única frequência fixa.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 2,592 cm

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁴/0,2 = 250000 m/s

Raio no segundo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,02592 m = 2,592 cm

Resposta

r = 2,592 cm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: P = 23,06 W

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 62,83 Ω, X_C = 33,86 Ω

Impedância

|Z| = √(100² + (28,97)²) = 104,1 Ω

Potência ativa

Indutores e capacitores só armazenam e devolvem energia; o resistor absorve toda a potência ativa.

I = 50/104,1 = 0,4803 A

P = I²·R = 0,4803²·100 = 23,06 W

Resposta

P = 23,06 W

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 758,7 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·2,2·10⁻⁶)) = 758,7 Hz

Resposta

f₀ = 758,7 Hz

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