Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +4 µC e uma carga de +3 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 2,5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +4 µCq₂ = +3 µCr₁ = 2,5 cmr₂ = 7,5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +1 µC e −1 µC estão a 6 cm uma da outra. O ponto P está a 4 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −1 µCd = 6 cmh = 4 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 5 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 5 ms.

V_s = 20 VR = 33 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 75 ms.

V_s = 6 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 22 µFt = 75 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um fio conduz uma corrente para cima na página num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. Clique no sentido da força magnética sobre o fio.

I: para cima na páginaB: saindo da página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina curta de 50 espiras está enrolada firmemente em torno do meio de um solenoide longo de 1000 espiras, comprimento de 40 cm e diâmetro de 2 cm. A corrente no solenoide varia a 50 A/s. Encontre a fem ε induzida na bobina curta.

N₁ = 1000N₂ = 50l = 40 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 50 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 1 mH deve ressoar a 5000 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 5000 HzL = 1 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 12 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 12 V (rms)R = 20 ΩL = 50 mHC = 0,22 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 5,274 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·4 × 10⁻⁶/0,025² = 5,754 × 10⁷ N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,075² = 4,795 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |5,754 × 10⁷ − 4,795 × 10⁶| = 5,274 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 5,274 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 4,315 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(3² + 4²) = 5 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,05² = 3,596 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·3,596 × 10⁶·0,6 = 4,315 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 4,315 × 10⁶ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,5556 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 6·30/(6+30) = 5 Ω

R_eq = R₁ + 5 = 10 + 5 = 15 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/15 = 0,6667 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,6667·10 = 3,333 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,333/6 = 0,5556 A

Resposta

I_R2 = 0,5556 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 7,326 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 5 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 1,765 Ω

R₃ + 1,765 = 6,765 Ω

R₂ ∥ 6,765 = 4,326 Ω

R_eq = R₁ + 4,326 = 3 + 4,326 = 7,326 Ω

Resposta

R_eq = 7,326 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 9,447 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

i(∞) = V_s/R = 20/33 = 0,6061 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 20·e^−5/6,667 = 9,447 V

Resposta

v_L = 9,447 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 0,4062 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 6·2,2/(4,7 + 2,2) = 1,913 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 2,2·22 = 48,4 ms

Descarga

v_C(t) = 1,913·e^−75/48,4 = 0,4062 V

Resposta

v_C = 0,4062 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para a direita

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

I: para cima na página, B: saindo da página

Sentido da força

para a direita

Resposta

F: para a direita

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 2,467 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Indutância mútua

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1000·50·0,0003142/0,4 = 49,35 µH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 4,935 × 10⁻⁵·50 = 2,467 mV

Resposta

ε = 2,467 mV

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 1,013 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,001) = 1,013 µF

Resposta

C = 1,013 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 286 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,22·10⁻⁶) = 9535 rad/s

I = V/R = 12/20 = 0,6 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 9535·0,05 = 476,7 Ω

V_L = I·X_L = 0,6·476,7 = 286 V

Resposta

V_L = 286 V

Isso é Q = 23,84 vezes a tensão da fonte.

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