Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +6 µC e −8 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 25 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −8 µCr = 25 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 3 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 3 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 8 µC está a 5 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 8 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 12 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 15 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 2 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a tensão v_R sobre R em t = 5 ms.

i(0) = 2 AR = 20 ΩL = 220 mHt = 5 ms

v_R = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Encontre a corrente do indutor i em t = 5 ms.

V_s = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 10 ΩL = 47 mHt = 5 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 15 cm um do outro, conduzem correntes de 20 A e 20 A no mesmo sentido. Encontre a força por metro de comprimento F/L entre eles.

I₁ = 20 AI₂ = 20 Ad = 15 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 2000 espiras, comprimento de 50 cm e diâmetro de 5 cm. Encontre a sua autoindutância L.

N = 2000l = 50 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 230 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 15 ΩL = 20 mH

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 120 V (eficaz), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 100 ΩC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 0,1438 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (6 + −8)/2 = −1 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(1 × 10⁻⁶)²/0,25² = 0,1438 N

Resposta

F = 0,1438 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 87,23 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·3·3 × 10⁻¹²/0,08² = 12,64 N

F₂ = k·8·3 × 10⁻¹²/0,05² = 86,3 N

Soma vetorial

F = √(12,64² + 86,3²) = 87,23 N

Resposta

F = 87,23 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,011 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 8 + 12 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 5·20/(5+20) = 4 Ω

R_eq = R₁ + 4 = 15 + 4 = 19 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/19 = 1,263 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,263·15 = 5,053 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,053/5 = 1,011 A

Resposta

I_R2 = 1,011 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 27,56 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 6 + 15 = 21 Ω

R₄ ∥ 21 = 7,636 Ω

R₃ + 7,636 = 17,64 Ω

R₂ ∥ 17,64 = 2,564 Ω

R_eq = R₁ + 2,564 = 25 + 2,564 = 27,56 Ω

Resposta

R_eq = 27,56 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_R = 25,39 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 2·e^−5/11 = 1,269 A

v_R = R·i = 20·1,269 = 25,39 V

Resposta

v_R = 25,39 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,5762 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 12/(20 + 10) = 0,4 A

i(∞) = 12/20 = 0,6 A

τ = L/R = 47/20 = 2,35 ms

i(t) = 0,6 + (0,4 − 0,6)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(5) = 0,6 + (−0,2)·e^−5/2,35 = 0,5762 A

Resposta

i = 0,5762 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F/L = 533,3 µN/m

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Força por metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·20/0,15 = 533,3 µN/m

Resposta

F/L = 533,3 µN/m

Correntes no mesmo sentido se atraem.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: L = 19,74 mH

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Seção transversal

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·0,001963/0,5 = 0,01974 H = 19,74 mH

Resposta

L = 19,74 mH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 13,43 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·500·0,02 = 62,83 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 230/15 = 15,33 A

I_X = V/X_L = 230/62,83 = 3,661 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(15,33² + 3,661²) = 15,76 A

Ângulo de fase

A corrente do indutor está atrasada em relação a V, então a corrente total fica atrasada e o ângulo é positivo.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(3,661/15,33) = 13,43°

Resposta

φ = 13,43°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,8301 A

Reatância

X_C = 1/(2π·100·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 91,98 − j27,16 Ω

Impedância total

Z = 50 + 91,98 − j27,16 = 142 − j27,16 Ω

|Z| = √(142² + 27,16²) = 144,6 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 120/144,6 = 0,8301 A

Resposta

I = 0,8301 A

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