Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +8 µC e +4 µC estão a 60 cm uma da outra. A que distância x da carga de +8 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +8 µCq₂ = +4 µCd = 60 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +6 µC e +6 µC estão a 6 cm uma da outra. O ponto P está a 12 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = +6 µCd = 6 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 15 ms.

V_s = 15 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 10 µFt = 15 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 8 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 15 ms.

V_s = 9 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 8 Vt = 15 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira quadrada move-se para a direita e entra numa região com um campo magnético uniforme que aponta saindo da página. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho, enquanto a espira está entrando no campo.

B: saindo da páginaentrando no campo

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 25 mH varia de forma constante de 1 A para 2,5 A em 50 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 25 mH1 A → 2,5 AΔt = 50 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 47 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 35,15 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

8/x² = 4/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(4/8) = 0,7071

Posição

x = 60/(1 + 0,7071) = 35,15 cm

Resposta

x = 35,15 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 6,84 × 10⁶ N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(3² + 12²) = 12,37 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,1237² = 3,525 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·3,525 × 10⁶·0,9701 = 6,84 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 6,84 × 10⁶ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,8 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 10 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 8·16/(8+16) = 5,333 Ω

R_eq = R₁ + 5,333 = 8 + 5,333 = 13,33 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/13,33 = 1,8 A

Resposta

I_R1 = 1,8 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 16,79 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 10 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 10,48 Ω

R₃ + 10,48 = 35,48 Ω

R₂ ∥ 35,48 = 12,79 Ω

R_eq = R₁ + 12,79 = 4 + 12,79 = 16,79 Ω

Resposta

R_eq = 16,79 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 2,557 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·4,7/(6,8 + 4,7) = 2,779 kΩ

v_C(∞) = 15·4,7/(6,8 + 4,7) = 6,13 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 2,779·10 = 27,79 ms

Curva de carga

v_C(t) = 6,13·(1 − e^−15/27,79) = 2,557 V

Resposta

v_C = 2,557 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 8,777 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 9 + (8 − 9)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(15) = 9 + (−1)·e^−15/10 = 8,777 V

Resposta

v_C = 8,777 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo saindo da página aumenta, ou o fluxo entrando na página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: entrando na página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

horário

Resposta

horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 0,75 V

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,025·1,5/0,05 = 0,75 V

Resposta

ε = 0,75 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,1662 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,25 = 785,4 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(80² + (717,7)²) = 722,1 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 120/722,1 = 0,1662 A

Resposta

I = 0,1662 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,2123 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·47·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−36,31)²) = 47,1 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/47,1 = 0,2123 A

Resposta

I = 0,2123 A

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