Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +5 µC e uma carga de −1 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 25 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +5 µCq₂ = −1 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 3 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 4 µC está a 3 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 5 µC está a 3 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 4 µCq₂ = 5 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 5 ms.

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 150 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 8 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 8,8 V? Encontre t.

V_s = 9 VR = 6,8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma partícula alfa movendo-se a 8 × 10⁵ m/s entra em um campo magnético uniforme em ângulo reto e descreve um círculo de raio 4,148 cm. Encontre a densidade de fluxo magnético B.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁵ m/sr = 4,148 cm

B = T

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 50 espiras, 12 cm × 15 cm, gira num campo uniforme de 0,05 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 0,9996 V?

N = 50A = 12 cm × 15 cmB = 0,05 TE_rms = 0,9996 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 1000 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 100 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 500 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 863040 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,25² = 719200 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,25² = 143840 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |719200 + 143840| = 863040 N/C

Resposta

E = 863040 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 191,9 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·4·3 × 10⁻¹²/0,03² = 119,9 N

F₂ = k·5·3 × 10⁻¹²/0,03² = 149,8 N

Soma vetorial

F = √(119,9² + 149,8²) = 191,9 N

Resposta

F = 191,9 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,935 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 10 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 5·15/(5+15) = 3,75 Ω

R_eq = R₁ + 3,75 = 4 + 3,75 = 7,75 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7,75 = 1,935 A

Resposta

I_R1 = 1,935 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 3,703 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 20 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 13,21 Ω

R₃ + 13,21 = 43,21 Ω

R₂ ∥ 43,21 = 4,481 Ω

R_eq = R₁ + 4,481 = 2 + 4,481 = 6,481 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/6,481 = 3,703 A

Resposta

I_R1 = 3,703 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 3,994 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 33 Ω = 4,545 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0,3636 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−5/4,545 = 3,994 V

Resposta

v_L = 3,994 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 2408 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 9 + (8 − 9)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

8,8 = 9 + (−1)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,8 − 9)/(8 − 9) = 0,2

t = τ·ln((8 − 9)/(8,8 − 9)) = 1496·ln(5) = 2408 ms

Resposta

t = 2408 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 0,4 T

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo a partir do raio

B = mv/(|q|r) = 6,645 × 10⁻²⁷·8 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,04148) = 0,4 T

Resposta

B = 0,4 T

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 300 rpm

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 1,414 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 1,414/(50·0,05·0,018) = 31,41 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·31,41/(2π) = 300 rpm

Resposta

n = 300 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 84,24 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·4,7·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (594,5)²) = 597,5 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(594,5/60) = 84,24°

Resposta

φ = 84,24°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 103,8 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·47·10⁻⁶)) = 103,8 Hz

Resposta

f₀ = 103,8 Hz

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