Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +1 µC e uma carga de +10 µC estão a 30 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 15 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +1 µCq₂ = +10 µCr₁ = 15 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 3 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 20 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 8° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 20 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 25 ms.

V_s = 9 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 22 µFt = 25 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 500 ms.

V_s = 15 VR₁ = 1 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 500 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 200 espiras, área 40 cm² e resistência 2 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,1 T para 0,6 T em 250 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 200A = 40 cm²B: 0,1 T → 0,6 TΔt = 250 msR = 2 Ω

I = mA

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 200 mH e 200 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,9. A corrente na primeira bobina varia a 50 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 200 mHL₂ = 200 mHk = 0,9di/dt = 50 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 50 Hz. Encontre o fator de potência cos φ do circuito.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 47 µF

cos φ =

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 50 V (eficaz), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 30 ΩC = 47 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,596 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,15² = 399556 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,15² = 3,996 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |399556 − 3,996 × 10⁶| = 3,596 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 3,596 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 37,76 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 8° = 0,004136 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 8° = 0,05567 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,05567·√(0,004136/8,99 × 10⁹) = 3,776 × 10⁻⁸ C = 37,76 nC

Resposta

q = 37,76 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 17,5 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 15·15/(15+15) = 7,5 Ω

R_eq = R₁ + 7,5 = 10 + 7,5 = 17,5 Ω

Resposta

R_eq = 17,5 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,09 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 4 + 5 = 9 Ω

R₄ ∥ 9 = 2,769 Ω

R₃ + 2,769 = 22,77 Ω

R₂ ∥ 22,77 = 10,65 Ω

R_eq = R₁ + 10,65 = 4 + 10,65 = 14,65 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/14,65 = 2,048 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 2,048·4 = 21,81 V

I_R2 = V_A/R₂ = 21,81/20 = 1,09 A

Resposta

I_R2 = 1,09 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 3,368 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·6,8/(2,2 + 6,8) = 1,662 kΩ

v_C(∞) = 9·6,8/(2,2 + 6,8) = 6,8 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 1,662·22 = 36,57 ms

Curva de carga

v_C(t) = 6,8·(1 − e^−25/36,57) = 3,368 V

Resposta

v_C = 3,368 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 1,405 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 15·10/(1 + 10) = 13,64 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 10·22 = 220 ms

Descarga

v_C(t) = 13,64·e^−500/220 = 1,405 V

Resposta

v_C = 1,405 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 800 mA

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,6 − 0,1)·0,004 = 0,002 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,002/0,25 = 1,6 V

Corrente

I = ε/R = 1,6/2 = 0,8 A

Resposta

I = 800 mA

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 9 V

Indutância mútua

M = 0,9·√(200·200) = 180 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,18·50 = 9 V

Resposta

ε = 9 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: cos φ = 0,9178

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 78,54 Ω, X_C = 67,73 Ω

Impedância

|Z| = √(25² + (10,81)²) = 27,24 Ω

Fator de potência

cos φ = R/|Z| = 25/27,24 = 0,9178

O circuito é indutivo, então o fator de potência é indutivo (atrasado).

Resposta

cos φ = 0,9178

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,7305 A

Reatância

X_C = 1/(2π·100·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 16,81 − j14,89 Ω

Impedância total

Z = 50 + 16,81 − j14,89 = 66,81 − j14,89 Ω

|Z| = √(66,81² + 14,89²) = 68,45 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 50/68,45 = 0,7305 A

Resposta

I = 0,7305 A

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