Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +1 µC e +8 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 5 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = +8 µCr = 5 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 2 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 5 µC está a 4 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 3 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 3 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 30 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W armazenada no indutor em t = 5 ms, em mJ.

V_s = 6 VR = 5 ΩL = 10 mHt = 5 ms

W = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está fechada há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave abre. Quanto tempo após t = 0 a corrente do indutor atinge 1,08 A? Encontre t.

V_s = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩL = 33 mH

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 10 cm um do outro, conduzem correntes de 15 A e 8 A no mesmo sentido. Encontre o módulo da densidade de fluxo magnético B no ponto P, a meio caminho entre eles.

I₁ = 15 AI₂ = 8 Ad = 10 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 50 espiras, 10 cm × 15 cm, gira num campo uniforme de 0,05 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 0,833 V?

N = 50A = 10 cm × 15 cmB = 0,05 TE_rms = 0,833 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 1000 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 72,82 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (1 + 8)/2 = 4,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(4,5 × 10⁻⁶)²/0,05² = 72,82 N

Resposta

F = 72,82 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 65,53 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·5·2 × 10⁻¹²/0,04² = 56,19 N

F₂ = k·3·2 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

Soma vetorial

F = √(56,19² + 33,71²) = 65,53 N

Resposta

F = 65,53 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,043 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 8 + 2 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 5·10/(5+10) = 3,333 Ω

R_eq = R₁ + 3,333 = 12 + 3,333 = 15,33 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/15,33 = 1,565 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,565·12 = 5,217 V

I_R2 = V_A/R₂ = 5,217/5 = 1,043 A

Resposta

I_R2 = 1,043 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,2868 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 25 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 4,941 Ω

R₃ + 4,941 = 34,94 Ω

R₂ ∥ 34,94 = 8,932 Ω

R_eq = R₁ + 8,932 = 30 + 8,932 = 38,93 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/38,93 = 0,3853 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 0,3853·30 = 3,441 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,441/12 = 0,2868 A

Resposta

I_R2 = 0,2868 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W = 6,066 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 5 Ω = 2 ms

i(∞) = V_s/R = 6/5 = 1,2 A

Corrente no instante dado

i(t) = 1,2·(1 − e^−5/2) = 1,101 A

Energia armazenada

W = ½·L·i² = ½·10·1,101² = 6,066 mJ

Resposta

W = 6,066 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 0,7847 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 a chave fechada desvia R₂; depois R₁ e R₂ estão os dois na malha.

i(0) = 12/10 = 1,2 A

i(∞) = 12/(10 + 5) = 0,8 A

τ = L/R = 33/15 = 2,2 ms

i(t) = 0,8 + (1,2 − 0,8)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

e^−t/τ = (1,08 − 0,8)/(1,2 − 0,8) = 0,7

t = 2,2·ln(1,429) = 0,7847 ms

Resposta

t = 0,7847 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 28 µT

Campo magnético de correntes: em torno de um fio reto e longo, as linhas de campo são círculos (regra da mão direita) com B = μ₀I/(2πr). No centro de uma bobina circular plana de N espiras, B = μ₀NI/(2R). Dentro de um solenoide longo o campo é uniforme, B = μ₀nI com n = N/L espiras por metro, qualquer que seja o raio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Trabalhe em unidades do SI (metros e ampères) e some vetorialmente os campos de várias fontes.

Campo de cada fio em P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·15/0,05 = 60 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·8/0,05 = 32 µT

Combine

B = |B₁ − B₂| = 28 µT

Resposta

B = 28 µT

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 300 rpm

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 1,178 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 1,178/(50·0,05·0,015) = 31,41 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·31,41/(2π) = 300 rpm

Resposta

n = 300 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,03893 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,05 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−307,2)²) = 308,2 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/308,2 = 0,03893 A

Resposta

I = 0,03893 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 1,992 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,15 = 942,5 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·2,2·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (870,1)²) = 871,6 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 24/871,6 = 0,02754 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,02754·72,34 = 1,992 V

Resposta

V_C = 1,992 V

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