Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: +10 µC à esquerda, −1 µC à direita a 20 cm de distância, e −8 µC entre elas, a 12 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +10 µCq_R = −1 µCq_M = −8 µCr_L = 12 cmr_R = 8 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 3 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 10 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 8 µC está a 3 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 10 µCq₂ = 8 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 3 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 15 VR₁ = 3 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 6 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

V_s = 10 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 4 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 5,4 V? Encontre t.

V_s = 6 VR = 2,2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 4 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 100 espiras tem uma área de 40 cm². Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,1 T para 0,3 T em 40 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 100A = 40 cm²B: 0,1 T → 0,3 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 25 mH varia de forma constante de 2 A para 2,5 A em 2 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 25 mH2 A → 2,5 AΔt = 2 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 50 V (rms), 200 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 50 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 47 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 12 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 12 V (rms)R = 20 ΩL = 10 mHC = 1 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 61,18 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = −k·10·8 × 10⁻¹²/0,12² = −49,94 N

F_R = −k·1·8 × 10⁻¹²/0,08² = −11,24 N

Força resultante

F = −49,94 + (−11,24) = −61,18 N → |F| = 61,18 N

Resposta

F = 61,18 N

A força resultante aponta para a esquerda.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 251,2 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·10·3 × 10⁻¹²/0,06² = 74,92 N

F₂ = k·8·3 × 10⁻¹²/0,03² = 239,7 N

Soma vetorial

F = √(74,92² + 239,7²) = 251,2 N

Resposta

F = 251,2 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 16 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 5 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 15·10/(15+10) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 10 + 6 = 16 Ω

Resposta

R_eq = 16 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 10,68 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 6 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 2,471 Ω

R₃ + 2,471 = 12,47 Ω

R₂ ∥ 12,47 = 7,681 Ω

R_eq = R₁ + 7,681 = 3 + 7,681 = 10,68 Ω

Resposta

R_eq = 10,68 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,1404 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

i(∞) = V_s/R = 10/68 = 0,1471 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1471·(1 − e^−1/0,3235) = 0,1404 A

Resposta

i = 0,1404 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 582,7 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 6 + (4 − 6)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

5,4 = 6 + (−2)·e^−t/τ → e^−t/τ = (5,4 − 6)/(4 − 6) = 0,3

t = τ·ln((4 − 6)/(5,4 − 6)) = 484·ln(3,333) = 582,7 ms

Resposta

t = 582,7 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 2 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,3 − 0,1)·0,004 = 0,0008 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,0008/0,04 = 2 V

Resposta

ε = 2 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 6,25 V

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,025·0,5/0,002 = 6,25 V

Resposta

ε = 6,25 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 80,45 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (297,2)²) = 301,4 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(297,2/50) = 80,45°

Resposta

φ = 80,45°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 60 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·1·10⁻⁶) = 10000 rad/s

I = V/R = 12/20 = 0,6 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 10000·0,01 = 100 Ω

V_L = I·X_L = 0,6·100 = 60 V

Resposta

V_L = 60 V

Isso é Q = 5 vezes a tensão da fonte.

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