Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: −5 µC à esquerda, +10 µC à direita a 30 cm de distância, e −4 µC entre elas, a 12 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −5 µCq_R = +10 µCq_M = −4 µCr_L = 12 cmr_R = 18 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 3 × 10⁷ m/s. As placas têm 3 cm de comprimento e o campo entre elas é 4800 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 3 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 4800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 75% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 10 VR = 68 ΩL = 150 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Encontre a corrente do indutor i em t = 5 ms.

V_s = 9 VR₁ = 33 ΩR₂ = 33 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira quadrada move-se para a direita e entra numa região com um campo magnético uniforme que aponta saindo da página. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho, enquanto a espira está entrando no campo.

B: saindo da páginaentrando no campo

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um dêuteron passa sem desvio por um seletor de velocidade com campos cruzados E = 2 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,4 T. Em seguida entra numa segunda região com apenas um campo magnético B₂ = 0,4 T, em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória ali.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,4 TB₂ = 0,4 Tm = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 10 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 5 mHC = 4,7 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 23,58 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = +k·5·4 × 10⁻¹²/0,12² = 12,49 N

F_R = +k·10·4 × 10⁻¹²/0,18² = 11,1 N

Força resultante

F = 12,49 + (11,1) = 23,58 N → |F| = 23,58 N

Resposta

F = 23,58 N

A força resultante aponta para a direita.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,4221 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,03/3 × 10⁷ = 1 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4800/9,109 × 10⁻³¹ = 8,442 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·8,442 × 10¹⁴·(1 × 10⁻⁹)² = 0,0004221 m = 0,4221 mm

Resposta

y = 0,4221 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,6136 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 20·15/(20+15) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 4 + 8,571 = 12,57 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12,57 = 1,432 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,432·4 = 12,27 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12,27/20 = 0,6136 A

Resposta

I_R2 = 0,6136 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,1418 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 2 + 10 = 12 Ω

R₄ ∥ 12 = 4 Ω

R₃ + 4 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 9,756 Ω

R_eq = R₁ + 9,756 = 4 + 9,756 = 13,76 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/13,76 = 0,3635 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,3635·4 = 3,546 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,546/25 = 0,1418 A

Resposta

I_R2 = 0,1418 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 3,058 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 68 Ω = 2,206 ms

i(∞) = V_s/R = 10/68 = 0,1471 A

Resolva para o tempo

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −2,206·ln(0,25) = 3,058 ms

Resposta

t = 3,058 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,2273 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 9/(33 + 33) = 0,1364 A

i(∞) = 9/33 = 0,2727 A

τ = L/R = 150/33 = 4,545 ms

i(t) = 0,2727 + (0,1364 − 0,2727)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(5) = 0,2727 + (−0,1364)·e^−5/4,545 = 0,2273 A

Resposta

i = 0,2273 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo saindo da página aumenta, ou o fluxo entrando na página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: entrando na página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

horário

Resposta

horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 2,609 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,4 = 500000 m/s

Raio no segundo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,02609 m = 2,609 cm

Resposta

r = 2,609 cm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,7932 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,05 = 18,85 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−7,676)²) = 12,61 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/12,61 = 0,7932 A

Resposta

I = 0,7932 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 21,74 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,005·4,7·10⁻⁶) = 6523 rad/s

I = V/R = 10/15 = 0,6667 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 6523·0,005 = 32,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,6667·32,62 = 21,74 V

Resposta

V_L = 21,74 V

Isso é Q = 2,174 vezes a tensão da fonte.

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