Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +10 µC e uma carga de −10 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 24 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +10 µCq₂ = −10 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 1 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 3 µC está a 5 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 6 µC está a 10 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 6 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 3 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 12 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 20 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está fechada há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente do indutor i em t = 1 ms.

V_s = 10 VR₁ = 22 ΩR₂ = 33 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma barra metálica de 60 cm de comprimento desliza a 2 m/s sobre dois trilhos num campo uniforme de 0,4 T entrando na página. Os trilhos são ligados por um resistor de 2 Ω; a barra e os trilhos têm resistência desprezível. Encontre a força F necessária para manter a barra em movimento com velocidade constante (sem atrito).

B = 0,4 TL = 60 cmv = 2 m/sR = 2 Ω

F = mN

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um próton passa sem desvio por um seletor de velocidade com campos cruzados E = 5 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,05 T. Em seguida entra numa segunda região com apenas um campo magnético B₂ = 0,5 T, em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória ali.

E = 5 × 10⁵ V/mB₁ = 0,05 TB₂ = 0,5 Tm = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 10 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 10 V (rms)R = 15 ΩL = 10 mHC = 10 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,254 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,24² = 1,561 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,36² = 693673 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |1,561 × 10⁶ + 693673| = 2,254 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 2,254 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 12,06 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·3·1 × 10⁻¹²/0,05² = 10,79 N

F₂ = k·6·1 × 10⁻¹²/0,1² = 5,394 N

Soma vetorial

F = √(10,79² + 5,394²) = 12,06 N

Resposta

F = 12,06 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,6723 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 6 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 10·16/(10+16) = 6,154 Ω

R_eq = R₁ + 6,154 = 3 + 6,154 = 9,154 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/9,154 = 1,092 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 1,092·3 = 6,723 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,723/10 = 0,6723 A

Resposta

I_R2 = 0,6723 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 4,76 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 12 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 12,69 Ω

R₃ + 12,69 = 14,69 Ω

R₂ ∥ 14,69 = 1,76 Ω

R_eq = R₁ + 1,76 = 3 + 1,76 = 4,76 Ω

Resposta

R_eq = 4,76 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 2,03 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0,5 ms

i(∞) = V_s/R = 15/20 = 0,75 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−1/0,5 = 2,03 V

Resposta

v_L = 2,03 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,2042 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 a chave fechada desvia R₂; depois R₁ e R₂ estão os dois na malha.

i(0) = 10/22 = 0,4545 A

i(∞) = 10/(22 + 33) = 0,1818 A

τ = L/R = 22/55 = 0,4 ms

i(t) = 0,1818 + (0,4545 − 0,1818)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(1) = 0,1818 + (0,2727)·e^−1/0,4 = 0,2042 A

Resposta

i = 0,2042 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F = 57,6 mN

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de movimento

ε = BLv = 0,4·0,6·2 = 0,48 V

Corrente

I = ε/R = 0,48/2 = 0,24 A

Força de frenagem

Lei de Lenz: a força sobre a corrente induzida se opõe ao movimento.

F = BIL = 0,4·0,24·0,6 = 0,0576 N

Resposta

F = 57,6 mN

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 20,89 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 5 × 10⁵/0,05 = 1 × 10⁷ m/s

Raio no segundo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,2089 m = 20,89 cm

Resposta

r = 20,89 cm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,02356 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,15 = 56,55 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·4,7·10⁻⁶) = 564,4 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−507,8)²) = 509,4 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/509,4 = 0,02356 A

Resposta

I = 0,02356 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 21,08 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 10/15 = 0,6667 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 3162·0,01 = 31,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,6667·31,62 = 21,08 V

Resposta

V_L = 21,08 V

Isso é Q = 2,108 vezes a tensão da fonte.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism