Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +10 µC e +8 µC estão a 40 cm uma da outra. A que distância x da carga de +10 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +10 µCq₂ = +8 µCd = 40 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 1 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 50 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 20° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 1 gL = 50 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 24 VR₁ = 30 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 20 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 15 ms.

V_s = 15 VR = 22 ΩL = 220 mHt = 15 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 400 ms.

V_s = 12 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 10 kΩC = 22 µFt = 400 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton move-se a 3 × 10⁶ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 0,1 T. Encontre o raio r da sua trajetória circular.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 3 × 10⁶ m/sB = 0,1 T

r = cm

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 400 espiras, comprimento de 20 cm e diâmetro de 1,5 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 4 A.

N = 400l = 20 cm⌀ = 1,5 cmI = 4 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 1000 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 10 V (rms)f = 1000 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 1 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 200 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 10 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 21,11 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

10/x² = 8/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(8/10) = 0,8944

Posição

x = 40/(1 + 0,8944) = 21,11 cm

Resposta

x = 21,11 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 215,5 nC

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,001·9,81·tan 20° = 0,003571 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 20° = 0,342 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,342·√(0,003571/8,99 × 10⁹) = 2,155 × 10⁻⁷ C = 215,5 nC

Resposta

q = 215,5 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 17,74 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 6 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 15·16/(15+16) = 7,742 Ω

R_eq = R₁ + 7,742 = 10 + 7,742 = 17,74 Ω

Resposta

R_eq = 17,74 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,7572 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 12 = 17 Ω

R₄ ∥ 17 = 9,189 Ω

R₃ + 9,189 = 11,19 Ω

R₂ ∥ 11,19 = 1,697 Ω

R_eq = R₁ + 1,697 = 30 + 1,697 = 31,7 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/31,7 = 0,7572 A

Resposta

I_R1 = 0,7572 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 3,347 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 220 mH / 22 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 15/22 = 0,6818 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−15/10 = 3,347 V

Resposta

v_L = 3,347 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 1,597 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 12·10/(2,2 + 10) = 9,836 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 10·22 = 220 ms

Descarga

v_C(t) = 9,836·e^−400/220 = 1,597 V

Resposta

v_C = 1,597 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 31,33 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilíbrio de forças

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raio

r = 1,673 × 10⁻²⁷·3 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,1) = 0,3133 m = 31,33 cm

Resposta

r = 31,33 cm

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: W = 1,421 mJ

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 177,7 µH

Energia armazenada

W = ½LI² = ½·0,0001777·4² = 0,001421 J = 1,421 mJ

Resposta

W = 1,421 mJ

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 84,47 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (155)²) = 155,7 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(155/15) = 84,47°

Resposta

φ = 84,47°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 159,2 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·10·10⁻⁶)) = 159,2 Hz

Resposta

f₀ = 159,2 Hz

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