Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: −3 µC à esquerda, −3 µC à direita a 20 cm de distância, e −5 µC entre elas, a 12 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −3 µCq_R = −3 µCq_M = −5 µCr_L = 12 cmr_R = 8 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 2 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 5 µC está a 3 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 8 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 8 µCq₃ = 2 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 6 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 6 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 8,7 V? Encontre t.

V_s = 15 VR = 2,2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 6 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. A intensidade do campo está diminuindo. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: saindo da páginadB/dt < 0

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Num seletor de velocidade, campos cruzados E = 8 × 10⁴ V/m e B = 0,2 T deixam passar em linha reta apenas íons de uma única velocidade. Encontre essa velocidade v.

E = 8 × 10⁴ V/mB₁ = 0,2 T

v = m/s

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 100 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 200 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 500 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 11,71 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = +k·3·5 × 10⁻¹²/0,12² = 9,365 N

F_R = −k·3·5 × 10⁻¹²/0,08² = −21,07 N

Força resultante

F = 9,365 + (−21,07) = −11,71 N → |F| = 11,71 N

Resposta

F = 11,71 N

A força resultante aponta para a esquerda.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 102,4 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·5·2 × 10⁻¹²/0,03² = 99,89 N

F₂ = k·8·2 × 10⁻¹²/0,08² = 22,47 N

Soma vetorial

F = √(99,89² + 22,47²) = 102,4 N

Resposta

F = 102,4 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,7875 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 8 + 3 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 10·11/(10+11) = 5,238 Ω

R_eq = R₁ + 5,238 = 10 + 5,238 = 15,24 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/15,24 = 0,7875 A

Resposta

I_R1 = 0,7875 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 11,93 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 30 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 2,78 Ω

R₃ + 2,78 = 7,78 Ω

R₂ ∥ 7,78 = 5,934 Ω

R_eq = R₁ + 5,934 = 6 + 5,934 = 11,93 Ω

Resposta

R_eq = 11,93 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,2384 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 12/50 = 0,24 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,24·(1 − e^−1/0,2) = 0,2384 A

Resposta

i = 0,2384 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 25,89 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 15 + (6 − 15)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

8,7 = 15 + (−9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8,7 − 15)/(6 − 15) = 0,7

t = τ·ln((6 − 15)/(8,7 − 15)) = 72,6·ln(1,429) = 25,89 ms

Resposta

t = 25,89 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: anti-horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo entrando na página aumenta, ou o fluxo saindo da página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: saindo da página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

anti-horário

Resposta

anti-horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: v = 400000 m/s

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 8 × 10⁴/0,2 = 400000 m/s

Resposta

v = 400000 m/s

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 47,66 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (109,7)²) = 148,5 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(109,7/100) = 47,66°

Resposta

φ = 47,66°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 85,23 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (169,5)²) = 169,8 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/169,8 = 0,589 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,589·144,7 = 85,23 V

Resposta

V_C = 85,23 V

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