Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck ideal converte 12 V em 8,4 V a 50 kHz com L = 220 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.
Vin = 12 VVo = 8,4 Vf = 50 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 24 V em 6 V a 500 kHz com L = 100 µH. Encontre a capacitância de saída C que limita a ondulação pico a pico da saída a 25 mV.
Um motor CC (k = 0,5 N·m/A, Ra = 0,2 Ω) funciona com 120 V e aciona um torque de carga de 10 N·m. Encontre sua velocidade n em rpm.
V = 120 Vk = 0,5 N·m/ARa = 0,2 ΩT = 10 N·m
n = rpm
4.Motores CCDifícil
Um motor CC (k = 0,3 V·s/rad, Ra = 0,4 Ω) em uma alimentação fixa de 120 V aciona uma carga de 3 N·m. Encontre a resistência em série Rs que o reduz a 1200 rpm.
Uma carga com impedância Z = 12 + j9 Ω está ligada a uma fonte monofásica de 240 V (eficaz). Encontre a potência ativa P que ela absorve.
V = 240 VZ = 12 + j9 Ω
P = W
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma fonte de 50 V (eficaz), 50 Hz tem impedância interna Zs = 8 + j5 Ω. A impedância de carga ZL pode ser escolhida livremente. Encontre a potência ativa máxima Pmax que pode ser entregue à carga.
Vs = 50 V (rms)f = 50 HzZs = 8 + j5 Ω
Pmax = W
7.Potência trifásicaMédia
Um motor de indução trifásico fornece 7,5 kW de potência mecânica de saída a plena carga. Nessa carga seu rendimento é 94% e seu fator de potência é 0,84 indutivo. A alimentação tem tensão de linha de 480 V. Encontre a corrente de linha IL.
Pout = 7,5 kWη = 94%cos φ = 0,84VL = 480 V
IL = A
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 80 kW com fator de potência 0,75 indutivo de uma alimentação de 690 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,9 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Encontre a potência reativa total QC que o banco de capacitores deve fornecer, em kvar.
P = 80 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 60 Hz
QC = kvar
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: ΔIL = 0,2291 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 8,4/12 = 0,7
Tensão no indutor durante o tempo de condução
Enquanto S conduz, o indutor fica entre Vin e Vo.
VL = 12 − 8,4 = 3,6 V
Ondulação de corrente
ΔIL = VL·D/(L·f) = 3,6·0,7/(220·10⁻⁶·50·10³) = 0,2291 A
Resposta
ΔIL = 0,2291 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: C = 0,9 µF
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 6/24 = 0,25
Ondulação de corrente no indutor
ΔIL = (24 − 6)·0,25/(100·10⁻⁶·500·10³) = 0,09 A
Capacitância
C = 0,09/(8·500·10³·25·10⁻³) = 0,9 µF
Resposta
C = 0,9 µF
3.Motores CC
Resposta: n = 2215 rpm
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Corrente de armadura
Ia = T/k = 10/0,5 = 20 A
fcem e velocidade
E = 120 − 20·0,2 = 116 V
ω = E/k = 232 rad/s → n = 2215 rpm
Resposta
n = 2215 rpm
4.Motores CC
Resposta: Rs = 7,83 Ω
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Corrente e fcem
Ia = 3/0,3 = 10 A
E = 0,3·125,7 = 37,7 V
Resistência em série
Ra + Rs = (120 − 37,7)/10 = 8,23 Ω
Rs = 7,83 Ω
Resposta
Rs = 7,83 Ω
O resistor desperdiça 783 W; um chopper controla a velocidade com muito menos perdas.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: P = 3072 W
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Corrente
|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 240/15 = 16 A
Potência ativa
P = I²·R = 16²·12 = 3072 W
Resposta
P = 3072 W
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: Pmax = 78,13 W
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Casamento conjugado
A reatância da carga anula a reatância da fonte, e a resistência da carga é igual à resistência da fonte.
ZL = Zs* = 8 − j5 Ω
Potência máxima
I = Vs/(2Rs) = 50/16 = 3,125 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 50²/(4·8) = 78,13 W
Resposta
Pmax = 78,13 W
7.Potência trifásica
Resposta: IL = 11,42 A
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência elétrica de entrada
Pin = Pout/η = 7,5/0,94 = 7,979 kW
Corrente de linha
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 7979/(√3·480·0,84) = 11,42 A
Resposta
IL = 11,42 A
8.Potência trifásica
Resposta: QC = 31,81 kvar
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.