Eletrônica de Potência e Acionamentos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Conversores CC-CC

Buck
Vo = D·Vin
Boost
Vo = Vin/(1 − D)
Buck-boost inversor
|Vo| = Vin·D/(1 − D)
Balanço de potência ideal
VinIin = VoIo
Ondulação do indutor
ΔIL = VL,on·D/(L·f); buck Vin − Vo, boost and buck-boost Vin
Corrente média no indutor
buck Io; boost e buck-boost Io/(1 − D)
Ondulação da saída
buck ΔIL/(8fC); boost e buck-boost Io·D/(fC)
Limite da CCM
buck (1 − D)R/(2f); boost D(1 − D)²R/(2f); buck-boost (1 − D)²R/(2f)

Método

  1. Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
  2. Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
  3. Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
  4. Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.

Motores CC

Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc

Método

  1. Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
  2. Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
  3. Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
  4. Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.

Potência CA e fator de potência

Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

Potência trifásica

Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η

2Exercícios

1.Conversores CC-CCMédia
tiL​Imax​Imin​ΔI = ?DTT2T

Um conversor boost ideal converte 12 V em 30 V a 25 kHz com L = 220 µH. Encontre a ondulação pico a pico da corrente no indutor ΔIL.

Vin​ = 12 VVo​ = 30 Vf = 25 kHzL = 220 µH
ΔIL = A
2.Conversores CC-CCDifícil
tiL​Imax​IL​DTT2T

Um conversor buck ideal converte 36 V em 9 V para uma carga de 5 Ω a 200 kHz. Encontre a menor indutância Lcrit para condução contínua.

Vin​ = 36 VVo​ = 9 Vf = 200 kHzR = 5 Ω
Lcrit = µH
3.Motores CCMédia
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

Um motor CC com k = 0,25 V·s/rad funciona com 48 V. Desprezando todas as perdas a vazio, encontre sua velocidade a vazio n0 em rpm.

V = 48 Vk = 0,25 V·s/rad
n0 = rpm
4.Motores CCDifícil
+−120 VRs​ = ?Ra​ = 0,2 ΩM+−En = 300 rpmT = 12 N·m

Um motor CC (k = 0,6 V·s/rad, Ra = 0,2 Ω) em uma alimentação fixa de 120 V aciona uma carga de 12 N·m. Encontre a resistência em série Rs que o reduz a 300 rpm.

V = 120 Vk = 0,6 V·s/radRa = 0,2 ΩT = 12 N·mn = 300 rpm
Rs = Ω
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
230 VR + jXP = 345 W2 A

Uma carga indutiva consome 2 A e 345 W de uma fonte monofásica de 230 V (eficaz). Modele-a como uma resistência R em série com uma reatância X. Encontre R.

V = 230 VI = 2 AP = 345 W
R = Ω
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
230 V60 Hzcarga24 kW, 0,7C470 µFI

Uma carga monofásica consome 24 kW com fator de potência 0,7 indutivo de uma fonte de 230 V, 60 Hz. Um capacitor de 470 µF é ligado em paralelo com a carga. Encontre o novo fator de potência cos φ visto pela fonte.

P = 24 kWpf1 = 0,7V = 230 Vf = 60 HzC = 470 µF
cos φ =
7.Potência trifásicaMédia
ABCVL​ = 480 VZ = 16 + j12 Ωpor fase

Uma carga equilibrada ligada em Δ com impedância de 16 + j12 Ω por fase está ligada a uma alimentação trifásica equilibrada com tensão de linha de 480 V. Encontre a potência ativa total P absorvida pela carga em kW.

VL = 480 VZ = 16 + j12 Ω por fase
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
P = 60 kWφ1​S1​Q2​QC​

Uma carga trifásica equilibrada consome 60 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 415 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,92 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Δ. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.

P = 60 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF

3Soluções

1.Conversores CC-CC

Resposta: ΔIL = 1,309 A

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 1 − 12/30 = 0,6

Tensão no indutor durante o tempo de condução

Enquanto S conduz, o indutor fica diretamente sobre Vin.

VL = 12 V

Ondulação de corrente

ΔIL = VL·D/(L·f) = 12·0,6/(220·10⁻⁶·25·10³) = 1,309 A

Resposta

ΔIL = 1,309 A
2.Conversores CC-CC

Resposta: Lcrit = 9,375 µH

Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.

Ciclo de trabalho

D = 9/36 = 0,25

Condição de limite

Iguale a corrente média no indutor à metade da ondulação de corrente e resolva para L.

Lcrit = (1 − D)·R/(2f)

Indutância crítica

Lcrit = (1 − 0,25)·5/(2200·10³) = 9,375 µH

Resposta

Lcrit = 9,375 µH
3.Motores CC

Resposta: n0 = 1833 rpm

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Velocidade a vazio

ω₀ = V/k = 48/0,25 = 192 rad/s
n0 = 60·192/(2π) = 1833 rpm

Resposta

n0 = 1833 rpm
4.Motores CC

Resposta: Rs = 4,858 Ω

Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.

Corrente e fcem

Ia = 12/0,6 = 20 A
E = 0,6·31,42 = 18,85 V

Resistência em série

Ra + Rs = (120 − 18,85)/20 = 5,058 Ω
Rs = 4,858 Ω

Resposta

Rs = 4,858 Ω

O resistor desperdiça 1943 W; um chopper controla a velocidade com muito menos perdas.

5.Potência CA e fator de potência

Resposta: R = 86,25 Ω

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Resistência pela potência ativa

R = P/I² = 345/2² = 86,25 Ω

Resposta

R = 86,25 Ω
6.Potência CA e fator de potência

Resposta: cos φ = 0,8462

Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa P não muda; só muda a potência reativa tirada da rede.

Q1 = 24·tan(arccos 0,7) = 24,48 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·470·10⁻⁶ = 9373 var = 9,373 kvar
Q2 = 24,48 − 9,373 = 15,11 kvar

Nova potência aparente

S2 = √(24² + 15,11²) = 28,36 kVA

Novo fator de potência

cos φ = P/S2 = 24/28,36 = 0,8462

Resposta

cos φ = 0,8462
7.Potência trifásica

Resposta: P = 27,65 kW

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

Tensão de fase

Vph = VL = 480 V

Corrente de fase

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω
Iph = 480/20 = 24 A

Potência ativa total

Só a parte resistiva de cada impedância absorve potência ativa.

P = 3·Iph²·R = 3·24²·16 = 27,65 kW

Resposta

P = 27,65 kW

Verificação: cos φ = R/|Z| = 0,8, e √3·VL·IL·cos φ dá a mesma potência.

8.Potência trifásica

Resposta: Cph = 228,9 µF

Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.

Potência reativa antes e depois

A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.

Q1 = 60·tan(acos 0,65) = 60·1,169 = 70,15 kvar
Q2 = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Potência reativa dos capacitores

QC = Q1 − Q2 = 44,59 kvar

Capacitância por fase

Em um banco em Δ cada capacitor está ligado entre duas linhas.

V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 14863/(377·415²) = 228,9 µF

Resposta

Cph = 228,9 µF

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