Identifique o conversor (buck, boost ou buck-boost) e a razão cíclica D a partir da relação de tensões.
Use o equilíbrio volt-segundo no indutor: a tensão média no indutor ao longo de um período é zero.
Encontre a tensão no indutor enquanto a chave conduz e depois ΔIL = VL·D/(L·f).
Para a ondulação da saída, encontre a carga que entra e sai do capacitor; para o limite da CCM, iguale a corrente média no indutor a ΔIL/2.
Motores CC
Circuito de armadura
V = E + IaRa
fcem e torque
E = k·ω, T = k·Ia
Velocidade
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
Velocidade a vazio e torque de travamento
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
Potências
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
Partida
Istart = V/(Ra + Rst)
Regulação de velocidade
SR = (n0 − nFL)/nFL
Potência desenvolvida máxima
Pmax = V²/(4Ra)
Acionamento com chopper
Va = D·Vdc
Método
Desenhe o circuito da armadura: alimentação V, resistência Ra e fcem E em série.
Use V = E + Ia·Ra para relacionar tensão, corrente e fcem.
Use E = k·ω para a velocidade e T = k·Ia para o torque, com ω = 2π·n/60.
Para potência e rendimento, parta de V·Ia, subtraia a perda no cobre Ia²·Ra e depois as perdas rotacionais.
Potência CA e fator de potência
Potência ativa
P = V·I·cos φ
Potência reativa
Q = V·I·sin φ
Potência aparente
S = V·I = √(P² + Q²)
Fator de potência
pf = cos φ = P/S
Capacitor de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
Potência trifásica
Ligação em Y
VL = √3·Vph, IL = Iph
Ligação em Δ
VL = Vph, IL = √3·Iph
Potência ativa total
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Potência aparente e reativa
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Capacitores de correção
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Tensão sobre cada capacitor
Δ: VL Y: VL/√3
Potência de entrada do motor
Pin = Pout/η
2Exercícios
1.Conversores CC-CCMédia
Um conversor buck converte 15 V em 4,5 V para uma carga de 2 Ω. Ele chaveia a 25 kHz com L = 150 µH. Encontre a corrente de pico no indutor Imax.
Vin = 15 VVo = 4,5 Vf = 25 kHzL = 150 µHR = 2 Ω
Imax = A
2.Conversores CC-CCDifícil
Um conversor buck converte 12 V em 7,2 V a 20 kHz com L = 100 µH. Encontre a menor corrente de carga Io,min para a qual ele permanece em condução contínua.
Vin = 12 VVo = 7,2 Vf = 20 kHzL = 100 µH
Io,min = A
3.Motores CCMédia
Um motor CC (k = 0,6 V·s/rad, Ra = 0,4 Ω) funciona com 220 V. A plena carga ele consome 25 A. Desprezando a corrente a vazio, encontre sua regulação de velocidade SR = (n₀ − nFL)/nFL em porcentagem.
V = 220 Vk = 0,6 V·s/radRa = 0,4 ΩIFL = 25 A
SR = %
4.Motores CCDifícil
Um pequeno motor CC tem resistência de armadura de 1,2 Ω e funciona com 110 V. Desprezando as perdas rotacionais, encontre a maior potência mecânica Pmax que ele pode desenvolver em qualquer velocidade.
V = 110 VRa = 1,2 Ω
Pmax = W
5.Potência CA e fator de potênciaMédia
Um motor monofásico consome 32 kW com fator de potência 0,85 indutivo de uma fonte de 240 V. Encontre a potência reativa Q que ele consome.
P = 32 kWpf = 0,85V = 240 V
Q = kvar
6.Potência CA e fator de potênciaDifícil
Uma fonte de 50 V (eficaz), 50 Hz tem impedância interna Zs = 5 + j40 Ω. A impedância de carga ZL pode ser escolhida livremente. A carga para máxima potência é formada por um resistor em série com um capacitor. Encontre a capacitância C.
Vs = 50 V (rms)f = 50 HzZs = 5 + j40 Ω
C = µF
7.Potência trifásicaMédia
Uma carga trifásica equilibrada consome uma corrente de linha de 12 A de uma alimentação com tensão de linha de 208 V. O fator de potência é 0,82 indutivo. Encontre a potência ativa total P consumida pela carga em kW.
VL = 208 VIL = 12 Acos φ = 0,82
P = kW
8.Potência trifásicaDifícil
Uma carga trifásica equilibrada consome 150 kW com fator de potência 0,65 indutivo de uma alimentação de 690 V (tensão de linha), 60 Hz. Um banco de capacitores trifásico em paralelo com a carga deve elevar o fator de potência total para 0,92 indutivo. A potência ativa permanece a mesma. Os capacitores estão ligados em Y. Encontre a capacitância Cph de cada capacitor em µF.
P = 150 kWpf1 = 0,65pf2 = 0,92VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3Soluções
1.Conversores CC-CC
Resposta: Imax = 2,67 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 4,5/15 = 0,3
Corrente média e ondulação
Io = 4,5/2 = 2,25 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 10,5·0,3/(150·10⁻⁶·25·10³) = 0,84 A
Corrente de pico
Imax = 2,25 + 0,84/2 = 2,67 A
Resposta
Imax = 2,67 A
2.Conversores CC-CC
Resposta: Io,min = 0,72 A
Conversores CC-CC: uma chave S conduz durante a fração D de cada período T = 1/f. Em regime permanente a tensão média no indutor é zero (equilíbrio volt-segundo), o que dá as relações de conversão ideais em condução contínua: buck Vo = D·Vin, boost Vo = Vin/(1 − D), buck-boost inversor |Vo| = Vin·D/(1 − D). Um conversor ideal conserva a potência: Vin·Iin = Vo·Io. Enquanto S conduz, a corrente no indutor sobe ΔIL = VL·D·T/L, com VL = Vin − Vo no buck e Vin no boost e no buck-boost. A ondulação da saída é ΔVo = ΔIL/(8fC) no buck e Io·D/(fC) no boost e no buck-boost. A corrente no indutor apenas toca o zero (o limite da CCM) quando a corrente média no indutor é igual a ΔIL/2.
Ciclo de trabalho
D = 7,2/12 = 0,6
Ondulação de corrente
ΔIL = 7,2·0,4/(100·10⁻⁶·20·10³) = 1,44 A
Corrente de carga no limite
Io,min = ΔIL/2 = 0,72 A
Resposta
Io,min = 0,72 A
Abaixo dessa corrente o conversor entra em condução descontínua e Vo sobe acima de D·Vin.
3.Motores CC
Resposta: SR = 4,762 %
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Velocidade a vazio e a plena carga
n₀ = 60·220/(2π·0,6) = 3501 rpm
nFL = 60·(220 − 25·0,4)/(2π·0,6) = 3342 rpm
Regulação de velocidade
SR = (3501 − 3342)/3342·100 = 4,762 %
Resposta
SR = 4,762 %
4.Motores CC
Resposta: Pmax = 2521 W
Motor CC: a armadura é uma resistência Ra em série com a força contraeletromotriz (fcem) E, de modo que V = E + Ia·Ra. A fcem cresce com a velocidade, E = k·ω, e o torque com a corrente, T = k·Ia, com a mesma constante do motor k (V·s/rad = N·m/A) em unidades SI. Converta velocidades com ω = 2π·n/60. A potência desenvolvida é E·Ia = T·ω; a potência de entrada é V·Ia, e a perda no cobre Ia²Ra e a perda rotacional fazem a diferença. A velocidade cai em linha reta com o torque, ω = V/k − Ra·T/k², da velocidade a vazio V/k até zero no torque de travamento k·V/Ra. Com o motor parado E = 0, então a corrente de partida V/Ra é grande, a menos que um resistor a limite.
Potência em função da fcem
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 55 V
Potência máxima
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 110²/(4·1,2) = 2521 W
Resposta
Pmax = 2521 W
Nesse ponto o rendimento é de apenas 50 %, por isso os motores reais funcionam bem acima da metade da velocidade.
5.Potência CA e fator de potência
Resposta: Q = 19,83 kvar
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Ângulo
φ = arccos(0,85) = 31,79°, tan φ = 0,6197
Potência reativa
Q = P·tan φ = 32·0,6197 = 19,83 kvar
Resposta
Q = 19,83 kvar
6.Potência CA e fator de potência
Resposta: C = 79,58 µF
Potência CA: a potência aparente S = V·I (VA) se divide em potência ativa P = S·cos φ (W), que realiza trabalho útil, e potência reativa Q = S·sin φ (var), que vai e volta entre fonte e carga. O fator de potência é cos φ. Um capacitor em paralelo fornece potência reativa localmente, então a corrente de linha cai para a mesma potência ativa.
Casamento conjugado
A reatância da carga anula a reatância da fonte, e a resistência da carga é igual à resistência da fonte.
ZL = Zs* = 5 − j40 Ω
Capacitância
XC = 40 Ω → C = 1/(2π·50·40) = 79,58 µF
Resposta
C = 79,58 µF
7.Potência trifásica
Resposta: P = 3,545 kW
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Potência aparente
S = √3·VL·IL = √3·208·12 = 4,323 kVA
Potência ativa
P = S·cos φ = 4,323·0,82 = 3,545 kW
Resposta
P = 3,545 kW
8.Potência trifásica
Resposta: Cph = 621,1 µF
Sistemas trifásicos equilibrados: em uma ligação Y (estrela) a tensão de linha é √3 vezes a tensão de fase, VL = √3·Vph, e a corrente de linha é igual à corrente de fase. Em uma ligação Δ (triângulo) a tensão de linha é igual à tensão de fase e a corrente de linha é √3 vezes a corrente de fase, IL = √3·Iph. A potência total é três vezes a potência de uma fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Correção do fator de potência: os capacitores fornecem potência reativa localmente, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Cada um dos três capacitores fornece QC/3 = V²·ω·C, onde V é a tensão sobre aquele capacitor: VL em um banco em Δ, VL/√3 em um banco em Y.
Potência reativa antes e depois
A potência ativa não muda, então cada fator de potência fixa a potência reativa: Q = P·tan φ.
Q1 = 150·tan(acos 0,65) = 150·1,169 = 175,4 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar
Potência reativa dos capacitores
QC = Q1 − Q2 = 111,5 kvar
Capacitância por fase
Em um banco em Y cada capacitor está ligado entre uma linha e o centro da estrela.